[ivaance]

Hola, ¿me podrían ayudar con este problema?

Refute o demuestre la siguiente afirmacion:

Si  \( A\in\mathbb{R}^{m\times n} \),  \( X\in\mathbb{R}^{n\times 1} \),  \( B\in\mathbb{R}^{m\times 1} \),   el sistema \( AX = B \) es compatible determinado si y solo si el rango de \( A \) es \( n \).

(disculpen intente usar latex y no lo entiendo)

Gracias de ante mano.

[mathtruco]

Hola ivaance.

Spoiler

Hola, ¿me podrían ayudar con este problema?

Refute o demuestre la siguiente afirmacion:

Si  \( A\in\mathbb{R}^{m\times n} \),  \( X\in\mathbb{R}^{n\times 1} \),  \( B\in\mathbb{R}^{m\times 1} \),   el sistema \( AX = B \) es compatible determinado si y solo si el rango de \( A \) es \( n \).

(disculpen intente usar latex y no lo entiendo)

Gracias de ante mano.

[cerrar]

El resultado es falso, porque depende del lado derecho del sistema.

Construye un sistema donde la matriz tenga 2 filas más que su números de columnas, con sólo ceros en sus dos últimas filas de abajo, y además el vector lado derecho tenga sus dos elementos de abajo distintos. Claramente Elige una matriz tal que el rango de la matriz es igual a su número de columnas. El sistema no tendrá solución.


Sobre el uso de LaTeX, revisa este link. Por esta vez edité tu mensaje para que se ajuste a las reglas.

[ivaance]

Hola ivaance.

Spoiler

Hola, ¿me podrían ayudar con este problema?

Refute o demuestre la siguiente afirmacion:

Si  \( A\in\mathbb{R}^{m\times n} \),  \( X\in\mathbb{R}^{n\times 1} \),  \( B\in\mathbb{R}^{m\times 1} \),   el sistema \( AX = B \) es compatible determinado si y solo si el rango de \( A \) es \( n \).

(disculpen intente usar latex y no lo entiendo)

Gracias de ante mano.

[cerrar]

El resultado es falso, porque depende del lado derecho del sistema.

Construye un sistema donde la matriz tenga 2 filas más que su números de columnas, con sólo ceros en sus dos últimas filas de abajo, y además el vector lado derecho tenga sus dos elementos de abajo distintos. Claramente Elige una matriz tal que el rango de la matriz es igual a su número de columnas. El sistema no tendrá solución.


Sobre el uso de LaTeX, revisa este link. Por esta vez edité tu mensaje para que se ajuste a las reglas.

Cuando dices que depende del lado derecho del sistema te refieres a la matriz B?

[mathtruco]

Sí, es usual llamar lado derecho a lo que no está del lado de la matriz ¿Había otra opción? ¿Intentaste al menos construir un contraejemplo con las indicaciones?

[ivaance]

Sí, es usual llamar lado derecho a lo que no está del lado de la matriz ¿Había otra opción? ¿Intentaste al menos construir un contraejemplo con las indicaciones?

Si lo intente, me ah ayudado a comprender el ejercicio, gracias

[feriva]

Hola, ¿me podrían ayudar con este problema?

Refute o demuestre la siguiente afirmacion:

Si  \( A\in\mathbb{R}^{m\times n} \),  \( X\in\mathbb{R}^{n\times 1} \),  \( B\in\mathbb{R}^{m\times 1} \),   el sistema \( AX = B \) es compatible determinado si y solo si el rango de \( A \) es \( n \).

(disculpen intente usar latex y no lo entiendo)

Gracias de ante mano.

Éste es un caso para los detectives Rouché y Frobenius

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Rouch%C3%A9%E2%80%93Frobenius

Saludos.

[mathtruco]

Hola feriva. También creo que el objetivo del problema es analizar el Teorema de Rouché–Frobenius. Pero tal como está planteada la pregunta, lo que propone es Falso.

Refute o demuestre la siguiente afirmacion:

Si  \( A\in\mathbb{R}^{m\times n} \),  \( X\in\mathbb{R}^{n\times 1} \),  \( B\in\mathbb{R}^{m\times 1} \),   el sistema \( AX = B \) es compatible determinado si y solo si el rango de \( A \) es \( n \).

Basta considerar el sistema

    \( \begin{bmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{bmatrix}\left[\begin{array}{ccc}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0\\ 0\\ 1\end{array}\right] \).

El rango de la matriz es 2, pero el sistema no tiene solución.

[feriva]

Hola feriva. También creo que el objetivo del problema es analizar el Teorema de Rouché–Frobenius. Pero tal como está planteada la pregunta, lo que propone es Falso.

Refute o demuestre la siguiente afirmacion:

Si  \( A\in\mathbb{R}^{m\times n} \),  \( X\in\mathbb{R}^{n\times 1} \),  \( B\in\mathbb{R}^{m\times 1} \),   el sistema \( AX = B \) es compatible determinado si y solo si el rango de \( A \) es \( n \).

Basta considerar el sistema

    \( \begin{bmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{bmatrix}\left[\begin{array}{ccc}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0\\ 0\\ 1\end{array}\right] \).

El rango de la matriz es 2, pero el sistema no tiene solución.

Hola, mathtruco, Sí, me había fijado en la respuesta que le dabas; era más que nada para que él ubicara el problema.

Saludos.

[ivaance]

Gracias mathtruco y feriva por la ayuda.