[Quema]

Hola para dos v.a i.i.d \( X,Y \)quiero hallar el máximo de
\( h(a)=Eu(aX+(1-a)Y) \)siendo \( u \)una función real cóncava y \( a\in{}[0,1] \). Una forma de hacerlo es a partir de la condición de primer orden

\( E(Xu^{\prime}(Z))=E(Yu^{\prime}(Z)) \)

siendo \( Z=aX+(1-a)Y \)y de aquí utilizando la propiedad para dos v.a \( W,M \)

\( E(E(W/M))=E(W) \)por lo tanto, de la igualdad por la condición de primer orden

\( E(E(Xu^{\prime}(Z)/Z=k))=EE((Yu^{\prime}(Z)/Z=k))) \)y de ahí operando llego a que \( a=\displaystyle\frac{1}{2} \)
Mi pregunta es, existe alguna otra forma de hacerlo sin tener que usar \( E(E(W/M))=E(W) \)

[Luis Fuentes]

Hola

 Lo tienes practicamente hecho aquí:

http://www.rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=10615.msg43979#msg43979

 Falta aplicar la condición de concavidad de \( u \) y listo.

Saludos.

[Quema]

Si pero como tu dices, me interesa analizarlo para \( u \)cóncava general y no una en particular, por tanto despejar \( a \)es bastante complicado, entonces? Ahí dices que para \( a=\displaystyle\frac{1}{2} \)la derivada primera se anula, cómo llegas a determinar eso?

[Luis Fuentes]

Hola

 Tienes que:

 \( h'(a)=E((X-Y)u'(aX+(1-a)Y)) \)

 Si \( a=1/2 \) te queda:

 \( h'(1/2)=E(Xu'(X/2+Y/2))-E(Yu'(X/2+Y/2)) \)

 Como \( X \) e \( Y \) son idénticamente distribuídas esa diferencia es cero.

Saludos.

[Quema]

Si \( X,Y \)no fueran independientes y tampoco idénticamente distribuidas, pero tuvieran la misma media, para simplificar que es igual a cero,
¿ igualmente se cumpliría que \( h'(1/2)=E(Xu'(X/2+Y/2))-E(Yu'(X/2+Y/2))=0 \)?


Por qué mi duda. Pues si hago, \( Z=aX+(1-a)Y \)

\( E[E(Xu^{\prime}(Z)/Z=k)]=E[E(Yu^{\prime}(Z)/Z=k)] \) y haciendo cuentas me queda que esta igualdad se cumple si
\( \displaystyle\frac{u^{\prime}(k)}{a}=\displaystyle\frac{u^{\prime}(k)}{1-a} \)

Y dónde entra lo de i.i.d en todo esto, es realmente necesario, ese supuesto para que la derivada primera se anule en \( a=\displaystyle\frac{1}{2} \)

[Luis Fuentes]

Hola

 No entiendo bien las cuentas que haces. ¿Qué es \( k \)?.

 Si las variables no son idénticamente distribuidas no va a ser cierto en general que:

\( E(Xu'(X/2+Y/2))=E(Yu'(X/2+Y/2)) \)

 Intuitivamente no es razonable en absoluto esta igualdad. Busca algún ejempo si quieres; no debe de ser difícil de encontrar.

Saludos.

[Quema]

Hola

Quiero demostrar que el máximo de \( Eu(\displaystyle\sum_{i=1}^n{a_iX_i}) \) siendo \( X_i \)i.i.d es cuando \( a_i=1 \) con \( u \) cóncava.

Haciendo Lagrange me queda en la derivada primera que

\( Eu(X_1u^{\prime})=Eu(X_2u^{\prime})=...=E(X_nu^{\prime}) \),

¿Cómo sigo luego?

Saludos