¿No das ayuda? ¿No debería ser el título más bien algo como "No doy una, ¡ayuda!"
Hecho ese inciso pasemos a otro:
Para la parte (a): ¿cuáles son las funciones del problema? ¿Qué significa \( I^2 \) y \( I^3 \)? Sin aclarar esto no sé muy bien a qué funciones se refiere.
Para la parte (b): define \( h:= f+g \). Si \( h \) es uniformemente continua en \( S \) debe cumplir la definición de continuidad uniforme, es decir, que para cada \( \epsilon>0 \) existe un \( \delta>0 \) tal que \( |x-y|<\delta\implies |h(x)-h(y)|<\epsilon \) para \( x,y\in S \).
Como \( f \) y \( g \) ya son uniformemente continuas entonces, dado un \( \epsilon/2>0 \), existen \( \delta_1,\delta_2>0 \) tales que \( |x-y|<\delta_1\implies |f(x)-f(y)|<\epsilon/2 \) y \( |x-y|<\delta_2\implies |g(x)-g(y)|<\epsilon/2 \), para \( x,y\in S \). Si tomamos \( \delta:=\min\{\delta_1,\delta_2\} \) entonces tenemos que
\( \displaystyle |x-y|<\delta\implies \overbrace{|h(x)-h(y)|\le|f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|}^{\text{desigualdad triangular}}<\frac\epsilon 2+\frac\epsilon 2=\epsilon \)
por lo que \( h \) es uniformemente continua en \( S \) también.
AÑADIDO: la idea es usar la definición de continuidad uniforme en \( f \) y \( g \), y ver cómo llegar a algo parecido a la definición de continuidad uniforme para la función \( h \).
