[mgranadosgg]

Hola y gracias de antemano.

Quisiera preguntar sobre cómo se hace el siguiente ejercicio:

ENUNCIADO
--------------

Hallar el área de la superficie generada por el triángulo de vértices \( A(0,1), B(0,-1) y C(1,-1) \) al girar alrededor del eje 0Y.

[robinlambada]

Hola:

Hola y gracias de antemano.

Quisiera preguntar sobre cómo se hace el siguiente ejercicio:

ENUNCIADO
--------------

Hallar el área de la superficie generada por el triángulo de vértices \( A(0,1), B(0,-1) y C(1,-1) \) al girar alrededor del eje 0Y.

Hola, se trata de la superficie de un cono, (la superficie lateral la genera el segmento \( \bar{AC} \) )

pon la ecuación de la hipotenusa en función de la altura x=f(y) e integra por anillos ( de altura infinitesimal dy ), concéntricos al eje OY

Al ser de revolución el rádio de cada anillo es:\(  r=x=f(y)   \) y el área pedida será la suma (integral) de todos los anillos infinitesimales de área \( 2\pi f(y)dy \) , es decir \( Area=2\pi\displaystyle\int_{-1}^{1}f(y)dy \)

Saludos.

P.D.: si necesitas también la base , esta es un círculo, que puedes integrar usando polares.

[delmar]

Hola

Otra forma,  utiliza el primer teorema de Pappus-Guldin, dice así :

El área  A de la superficie de revolución, engendrada por la rotación de una curva plana C alrededor de un eje externo a la curva; pero que esta en el mismo plano de la curva, es igual a la longitud L de la curva multiplicada por la distancia d recorrida por el centroide de C durante la rotación es decir : \( A=L \ d \)

Observa que la superficie de revolución engendrada por la rotación del triángulo, esencialmente esta generada por los segmentos \( AC \) y \( BC \) el otro segmento \( AB \) no genera superficie, la idea es hallar las áreas \( A_1 \) y \( A_2 \) de las superficies generadas por los segmentos \( AC \) y \( BC \) respectivamente, aplicando el teorema, recuerda que el centroide de un segmento es su punto medio y en una rotación completa el centroide recorre una circunferencia.


Saludos

[mgranadosgg]

Hola. Gracias de antemano.

La fórmula que intento aplicar es la del área de una superficie de revolución en el eje Y:

\( A_(superficie)=2.PI.\displaystyle\int_{a}^{b}r(y)\sqrt[ ]{1+[g'(y)]^2} dy \)

donde \( r(y) \) denota la distancia entre la gráfica de \( g \) y el eje de revolución.

Los ejercicios que he visto, dan una función y un par de puntos o 2 funciones, de tal  forma que a distancia entre la gráfica de f y el eje y es r(x)=x y usando la derivada  se determina el área. Sin embargo, en este caso, al dar 3 puntos, quedo un poco perdido, pues no sé cómo aplicar la fórmula anterior.

Por otro lado, no sé si es la misma solución que ya han contestado. Si no es así, quisiera por favor que me explique con más detalle la aplicación del método de anillos.

Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola. Gracias de antemano.

La fórmula que intento aplicar es la del área de una superficie de revolución en el eje Y:

\( A_(superficie)=2.PI.\displaystyle\int_{a}^{b}r(y)\sqrt[ ]{1+[g'(y)]^2} dy \)

donde \( r(y) \) denota la distancia entre la gráfica de \( g \) y el eje de revolución.

En tu caso sería:

\( g(y)=r(y)=\dfrac{1-y}{2} \)

y el área lateral del cono es:

\( 2\pi\displaystyle\int_{-1}^{1}g(y)\sqrt{1+g'(y)^2}dy \)

Haz las cuentas. Para el área total del cono hay que sumarle el área de la base que es un círculo de radio uno.

Saludos.

P.D. robinalambada, ¿seguro que está bien esto?.

Al ser de revolución el rádio de cada anillo es:\(  r=x=f(y)   \) y el área pedida será la suma (integral) de todos los anillos infinitesimales de área \( 2\pi f(y)dy \) , es decir \( Area=2\pi\displaystyle\int_{-1}^{1}f(y)dy \)

[mgranadosgg]

Hola, gracias de antemano.

entonces, según lo anterior, el área lateral del cono sería:

\( 2.PI.\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{1-y}{2}.\sqrt[ ]{1-\displaystyle\frac{1}{2}} dy=2.PI.\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}}=\sqrt[ ]{2}.PI \)

Sin embargo, el resultado que tengo del ejercicio es: \( A=PI.(1+\sqrt[ ]{5}) \)

[mgranadosgg]

Hola. Gracias de antemano.

Según lo explicado en estos mensajes, tenemos:

\( A=2.PI.\displaystyle\int_{a}^{b}r(x).\sqrt[ ]{1+[g'(x)]^2} dy \)

donde \( g(y)=r(x)=\displaystyle\frac{1-y}{2} \).

y el área lateral del cono es:

\( A=2.PI.\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{1-y}{2}.\sqrt[ ]{1+[\displaystyle\frac{-1}{2}]^2} dy \)


La integral de \( \displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{1-y}{2}.\sqrt[ ]{1+[\displaystyle\frac{-1}{2}]^2} dy \)
 es:

\( \displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{1-y}{2}.\sqrt[ ]{1+[\displaystyle\frac{-1}{2}]^2} dy = \displaystyle\frac{1}{2}.\sqrt[ ]{1-\displaystyle\frac{1}{2}}.\displaystyle\int_{a}^{b}1-y dy \)

\( =\displaystyle\frac{1}{2\sqrt[ ]{2}}.\displaystyle\int_{a}^{b}1-y dy \)

\( =\displaystyle\frac{1}{2\sqrt[ ]{2}}.(\displaystyle\int_{}^{}1 dy -\displaystyle\int_{}^{}y dy) \)

\( =\displaystyle\frac{1}{2\sqrt[ ]{2}}.(y-\displaystyle\frac{y^2}{2})+C \)

Calcular los límites:

\( \displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{1-y}{2}.\sqrt[ ]{1-\displaystyle\frac{1}{2}} dy = \displaystyle\frac{1}{4\sqrt[ ]{2}}-(-\displaystyle\frac{3}{4\sqrt[ ]{2}}) \)

\( =\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}} \)

Por tanto,

\( \displaystyle\int_{}^{}2.PI.\displaystyle\frac{1-y}{2}.\sqrt[ ]{1-\displaystyle\frac{1}{2}}=2.PI.\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}} \)

\( =\sqrt[ ]{2}.PI \)


¿es correcto?

[I am Bo]

Buenas,
Un fallo que veo:

\( \displaystyle\int_{-1}^{1}\dfrac{1-y}{2}\,\sqrt{1+\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2}\,\text{d}y =\dfrac{1}{2}\,\sqrt{1\color{red}+\dfrac{1}{4}\color{black}}\,\int_{-1}^{1}(1-y)\,\text{d}y \)

Para lo que se obtiene \( \sqrt{5}\,\pi \), que es justo el área lateral de un cono de radio 1 y altura 2 unidades.
Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Como te dice iambo, revisa tus cuentas.

Saludos.