Hola
Sea \( \alpha: I\rightarrow{}\color{red}\mathbb{R}\color{black} \) una curva parametrizada por el arco. Para cada \( d \in \mathbb{R} \), se define la curva paralela \( \alpha_d:I\to\color{red}\mathbb{R}\color{black} \) dada por \( \alpha_d(s)=\alpha(s)+d \cdot N(s) \) donde \( N(s) \) es el vector normal de la curva. Suponiendo que \( \alpha(s) \) es regular, calcular su curvatura y relacionarla con la de \( \alpha \).
Lo que he marcado en rojo está mal; debería de ser \( \mathbb{R}^2 \) o \( \mathbb{R}^3 \) según te refieras a una curva plana o espacial. Voy a suponer el segundo caso.
Entonces llamamos:
\( r(s)=\alpha(s)+d\cdot N(s) \)
Nota que \( r(s) \) no tiene porque estar parametrizada por el parámetro longitud de arco aunque \( \alpha \) si lo esté. La curvatura de \( r \) es:
\( \chi_r=\dfrac{\|r'(s)\times r''(s)\|}{\|r'(s)\|}^3 \)
Usaremos las relaciones del
Triedro de Frenet para hallar las derivadas:
\( r'(s)=\alpha'(s)+d\cdot N'(s)=T(s)+d(-\chi(s)T(s)+\tau(s)B(s))=(1-d\chi(s))T(s)+\tau(s)B(s) \)
\( r''(s)=-d\chi'(s)T(s)+(1-d\chi(s)T'(s)+\tau'(s)B(s)+\tau(s)B'(s)=-d\chi'(s)T(s)+(1-d\chi(s))\chi(S)N(s)+\tau'(s)B(s)-\tau(s)^2N(s)=\\=-d\chi'(s)T(s)+((1-d\chi(s))\chi(S)-\tau(s)^2)N(s)+\tau'(s)B(s) \)
Teniendo en cuenta que \( \{T(s),N(s),B(s)\} \) es una base ortonormal con orientación positiva:
\( r'(s)\times r''(s)=\tau(s)((1-d\chi(s))\chi(S)-\tau(s)^2)T(s)+(\tau(s)(-d\chi'(s))-(1-d\chi(s))\tau'(s))N(s)+(1-d\chi(s))((1-d\chi(s))\chi(S)-\tau(s)^2)B(s) \)
\( \|r'(s)\|=\sqrt{(1-d\chi(s))^2+\tau(s)^2} \)
\( \|r'(s)\times r''(s)\|=\sqrt{(\tau(s)((1-d\chi(s))\chi(S)-\tau(s)^2))^2+(\tau(s)(-d\chi'(s))-(1-d\chi(s))\tau'(s))^2+((1-d\chi(s))((1-d\chi(s))\chi(S)-\tau(s)^2))^2} \)
Así las cuentas no quedan muy bonitas; sospecho que te lo pedirán para curvas planas. En ese caso la torsión es cero y el panorama se aclara algo:
\( \|r'(s)\|=|1-d\chi(s)| \)
\( \|r'(s)\times r''(s)\|=|1-d\chi(s)|^2\chi(s) \)
De donde:
\( \chi_r=\dfrac{\|r'(s)\times r''(s)\|}{\|r'(s)\|}^3=\dfrac{\chi(s)}{|1-d\chi(s)|} \)
Saludos.
