Hola
Sea \( \alpha:\mathbb{R}\rightarrow{}\mathbb{R}^2 \) una curva parametrizada por el arco y \( B(p_0,R) \) el disco cerrado, tal que \( \alpha(\mathbb{R})\subseteq{}B(p_0,R) \). Probar que si \( |k(s)|\leq{\frac{1}{R}} \) para cada \( s \in \mathbb{R} \), entonces \( \alpha(\mathbb{R})=\mathbb{S}^1(p_0,R) \).
Donde \( k(s) \) es la curvatura de la curva. Mirando mis apuntes creo que tengo que usar que toda funcion diferenciable \( f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \) convexa y acotada superiormente es constante, así como las ecuaciones de Frenet para curvas en \( \mathbb{R}^2 \).
Considera la función:
\( f(s)=<\alpha(s)-p_0,\alpha(s)-p_0> \)
y aplícale la idea que citabas. Nota que:
\( f'(s)=2<\alpha'(s),\alpha(s)-p_0> \)
\( f''(s)=2(<\alpha'(s),\alpha2(s)>+2<\alpha(s)-p_0,\alpha''(s)>)=2(<\alpha'(s),\alpha2(s)>+2<\alpha(s)-p_0,\alpha''(s)>) \)
Además por las hipótesies
\( \|\alpha(s)-p_0\|\leq R \)
\( \|\alpha''(s)\|\leq \dfrac{1}{R} \)
y puedes usar Cauchy-Schwartz para acotar la segunda derivada y tener la convexidad.
Saludos.
