[Steven_Math]

Hola amigos, he tratado de demostrar el siguiente problema y no he podido llegar a una conclusión. El problema es el siguiente:
Si todo \(  p-subgrupo \)  de \(  Sylow  \) de un grupo finito \(  G  \) es normal, para todo primo \(  p \), entonces \(  G \) es el producto directo de sus subgrupos de \(  Sylow \).
Les agradecería su ayuda.

[geómetracat]

Un esquema sería el siguiente.

Usa los siguientes dos hechos:

1. Si \( H,K \) son subgrupos (no necesariamente de Sylow) normales de \( G \), entonces \( HK \) es también un subgrupo normal de \( G \).

2. Si \( P \) es un \( p \)-subgrupo de Sylow normal, entonces es el único \( p \)-Sylow de \( G \).

Ahora, usando 1 repetidamente puedes comprobar que el producto de todos los Sylows \( P_1P_2 \dots P_n \) es un subgrupo (normal) de \( G \). Comparando cardinalidades (y usando 2), tendrás que de hecho \( G = P_1P_2 \dots P_n  \).

[Steven_Math]

Muchas gracias amigo por su ayuda, me ha servido  mucho para poder realizar el problema. Saludos.