Hola
No se entiende muy bien lo que querés hallar, aunque lo más probable es que quieras hallar el área marcada en celeste de la siguiente figura:
Integraremos "mirando" el eje \( y \) ya que no hay que hacer divisiones del área. Se ve claramente que la integral va desde \( 0 \) hasta \( h \). ¿Quién es el integrando?
En primer lugar hallemos la ecuación de la recta que pasa por el origen. Sea \( y=mx+b \). Sabemos que los dos puntos por los que pasa son \( (0,0) \) y \( (a,h) \), y como un punto cualquiera del plano es \( (x,y) \) entonces:
\( \begin{cases}b=0&(1)\\am+b=h&(2)\end{cases} \)
de donde \( (1) \) en \( (2) \) se obtiene que \( am=h \) o sea que \( m=h/a \). De esta manera, la primera recta es \( y=\frac hax \).
Para hallar la segunda recta procedemos de manera muy parecida. Los dos puntos ahora son \( (b,0) \) y \( (a,h) \), entonces para hallar \( y=mx+z \) debemos resolver:
\( \begin{cases}mb+z=0&(1)\\am+z=h&(2)\end{cases} \)
Si hacemos \( (2)-(1) \) entonces \( am-mb=h-0 \), o sea \( (a-b)m=h \) entonces \( m=\frac h{a-b} \). Si reemplazamos esta expresión en por ejemplo \( (1) \) obtenemos que \( \frac h{a-b}b+z=0 \), de donde \( z=-\frac{hb}{a-b}=\frac{hb}{b-a} \). Finalmente, la recta que necesitamos es \( y=\frac h{a-b}x+\frac{hb}{b-a} \).
Pero como estamos integrando respecto a \( y \) debemos despejar la \( x \) de cada recta, para así saber la expresión de \( y \).
Si \( y=\frac hax \) entonces \( x=\frac ahy \).
Si \( y=\frac h{a-b}x+\frac{hb}{b-a} \) entonces \( x=(y+\frac{bh}{a-b})\frac{a-b}h \).
Como debemos hacer "techo - piso" (para que resulte la integral que queremos buscar) entonces:
\( \displaystyle\int_0^h\left(T-P\right)\,\mathrm dy=\int_0^h\left(\left(y+\frac{bh}{a-b}\right)\frac{a-b}h-\frac ahy\right)\,\mathrm dy=\dots=\boxed{\frac{h(a(b-h)+b^2)}{2b}}. \)
Por ejemplo, un gráfico parecido al tuyo podría ser si las rectas son \( y=\frac12x \) e \( y=x-5 \). Los vértices del triángulo son \( (0,0) \), \( (5,0) \) y \( (10,5) \), de donde \( b=5 \), \( a=10 \) y \( h=5 \). Usando Pitágoras, el área es base producto base dividido entre dos, o sea \( bh/2=5\cdot5/2=\frac{25}2 \). Ahora bien, usando nuestra fórmula: \( \frac{5(10(5-5)+5^2)}{(2)(5)}=\frac{25}2 \), que coincide con la fórmula.
Saludos
