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Por otro lado, es conveniente que para cada ejercicio abras un nuevo hilo, a fin de poder mantener organizado el foro. Por favor, tené en cuenta estas consideraciones para la próxima.
(...) Necesito que me digan (...) los resultados de los ejercicios y yo me encargo de procedimiento
Para obtener las respuestas podés consultar las siguientes páginas:
https://www.wolframalpha.com ;
https://www.calculadora-de-integrales.com/ ;
https://es.symbolab.com/solver/integral-calculator (los últimos dos enlaces incluyen pasos de resolución, así que primero es conveniente que consultes allí y luego preguntes).
Los ejercicios son:
1) \( \displaystyle\int4^x\sqrt{1+4^x}\,\mathrm dx \)
2) \( \displaystyle\int\frac{1}{x(x^6+1)}\,\mathrm dx \)
3) \( \displaystyle\int\frac{x^3}{\sqrt{x^2}+1}\,\mathrm dx \) (*)
(*) ¿Estás segura que el denominador es \( \sqrt{x^2}+1 \)? Esta integral es más difícil de resolver que si el denominador fuera \( \sqrt{x^2+1} \), ya que en tu integral debemos considerar resolver \( \frac{x^3}{|x|+1} \) (es fácil si consideramos \( x\geq0 \) para así eliminar el valor absoluto, pero no sé cómo te lo piden). Por favor revisá la integral.
Tus resoluciones son:
1) \( \displaystyle\int4^x\sqrt{1+4^x}\,\mathrm dx=\int\sqrt{1+4^x}4^x\,\mathrm dx \)
\( u=1+4^x \)
\( \mathrm du=4^x\,\mathrm dx \)
(...)
Está mal cuando derivás \( 1+4^x \). Recordá que \( (a^x)'=a^x\cdot\ln a \). En tu caso, \( a=4 \).
En los dos ejercicios siguientes cometés un error muy grave (que es entendible cuando recién comenzás a ver integrales, pero si estás adelantada es muy peligroso):
cuando cambiás de variables NO tenés que dejar expresiones con la variable vieja. Nunca. Grabátelo en la cabeza.
Si estás trabajando con un cambio \( u=u(x) \) cuando derives ambos lados obtendrás que \( \mathrm du=u'(x)\,\mathrm dx \), lo que significa que si por ejemplo tenés \( \int x^2u\,\mathrm du \) el \( x^2 \) actúa como constante para la integral, ya que sólo "depende" de \( u \), por lo que \( \int x^2u\,\mathrm du=x^2\int u\,\mathrm du \), y esto está mal.
Con esto en mente,
2) \( \displaystyle\int\frac{1}{x(x^6+1)}\,\mathrm dx \)
\( u=x^6+1 \)
\( \mathrm du=6x^5\,\mathrm dx \)
\( \dfrac{\mathrm du}{6x^5}=\mathrm dx \)
\( \displaystyle\int\frac{\mathrm du}{x(u)6x^5} \)
(...)
Está mal por lo de antes: te queda una integral con dos letras, cuando deberías tener una sola (la \( u \)). Fijate que si realizás el cambio \( x^6+1=u \) te queda una \( x^5 \), que NO puede obtenerse de ninguna parte de la integral, así que no nos conviene realizar ese cambio.
Una manera es realizar una descomposición en fracciones simples, lo que puede consumir un buen tiempo. Otra manera que es más directa es multiplicar y dividir el denominador por \( x^6 \):
\( \displaystyle\int\frac{1}{x(x^6+1)}\,\mathrm dx=\int\frac{1}{\frac{x^6}{x^6}x(x^6+1)}\,\mathrm dx=\int\frac{1}{x^7\frac{(x^6+1)}{x^6}}\,\mathrm dx=\int\frac{1}{x^7(1+\frac{1}{x^6})}\,\mathrm dx, \)
y ahora realizar el cambio \( u=1+\frac{1}{x^6} \).
3) \( \displaystyle\int\frac{x^3}{\sqrt{x^2}+1}\,\mathrm dx \)
\( u=x^2 \)
\( \mathrm du=2x\,\mathrm dx \)
\( \dfrac{\mathrm du}{2}=x\,\mathrm dx \)
\( \displaystyle\int\frac{x^2x}{\sqrt{x^2}+1}\,\mathrm dx \)
\( \displaystyle\int\frac{x^2\,\mathrm du}{2\sqrt{u}+1} \)
(...)
Está mal porque te queda el factor \( x^2 \) colgado en la integral, cuando todo debería depender solamente de \( u \).
Si la integral es efectivamente \( \int\frac{x^3}{\sqrt{x^2}+1}\,\mathrm dx \) no sé cómo resolverlo pues \( \sqrt{x^2}=|x| \) (sí que sé si tenemos \( x\geq0 \) entonces \( \sqrt{x^2}=x \), pero esto lo dirás vos).
Ahora bien, si querías poner
\( \displaystyle\int\frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}\,\mathrm dx \)
luego aplicando el cambio \( u=x^2+1 \), resulta que \( \mathrm du=2x\,\mathrm dx \), o sea que \( \mathrm dx=\frac{\mathrm du}{2x} \), y además \( x^2=u-1 \), entonces:
\( \displaystyle\int\frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}\,\mathrm dx=\int\frac{x^3}{\sqrt{u}}\,\frac{\mathrm du}{2x}=\int\frac{x^2}{\sqrt{u}}\,\frac{\mathrm du}{2}=\int\frac{u-1}{\sqrt{u}}\,\frac{\mathrm du}{2}, \)
y ahora creo que ya sabés cómo seguir.
Cualquier inquietud no dudes en preguntar
.
Saludos
