[Supertal]

Mi problema dice: Calcula el trabajo realizado por la fuerza \( \vec{F}=x^2·\vec{i}-xz·\vec{j}+y^2·\vec{k} \), a lo largo de la trayectoria cerrada OABCDO indicada en la figura. La longitud de la arista de cubo es 1m.



\( \displaystyle\int_{O}^{A}\vec{F}·\vec{dz}=\displaystyle\int_{O}^{A}(x^2·\vec{i}-xz·\vec{j}+y^2·\vec{k})·dz=0 \)

\( \displaystyle\int_{A}^{B}\vec{F}·\vec{dx}=\displaystyle\int_{A}^{B}(x^2·\vec{i}-xz·\vec{j}+y^2·\vec{k})·dx=\displaystyle\int_{A}^{B}(x^2·\vec{i})·dx=\displaystyle\int_{0}^{1}(x^2·\vec{i})·dx=\displaystyle\frac{1}{3} \)

\( \displaystyle\int_{B}^{C}\vec{F}·\vec{dy}=\displaystyle\int_{B}^{C}(x^2·\vec{i}-xz·\vec{j}+y^2·\vec{k})·dy=\displaystyle\int_{0}^{1}(y^2·\vec{k})·dy=\displaystyle\int_{0}^{1}(y^2·\vec{k})·dy=\displaystyle\frac{1}{3} \)

\( \displaystyle\int_{D}^{O}\vec{F}·\vec{dy}=\displaystyle\int_{D}^{O}(x^2·\vec{i}-xz·\vec{j}+y^2·\vec{k})·dy=\displaystyle\int_{1}^{0}(y^2·\vec{k})·dy=\displaystyle\int_{1}^{0}(y^2·\vec{k})·dy=\displaystyle\frac{-1}{3} \)

Todas estas integrales sé que las tengo mal planteadas y encima, me falta la que va de C a D que como varía tanto la x como la y, no sé ni cómo se plantea.
¿Alguien me puede hacer es problema analíticamente?

[delmar]

Hola Supertal

Bienvenido al foro

Veo un razonamiento con varios aciertos, el trabajo de una fuerza a lo largo de una línea, es un integral de línea y en este caso se ha descompuesto la línea, en una reunión de segmentos, de esta forma el trabajo, es la suma de los trabajos en cada uno de esos segmentos; eso es correcto. Lo que hay que precisar es la formalización. Voy a ejemplificar el cálculo del trabajo calculando los trabajos en los segmenos AB y CD

AB

\( W_{AB}=\displaystyle\int_{AB}^{}\vec{F}\cdot{d\vec{r}}=\displaystyle\int_{a}^{b}\vec{F}\cdot{\displaystyle\frac{d\vec{r}(t)}{dt}} \ dt \), donde \( \vec{r} \) es la línea AB, en este caso es un segmento y t es el parámetro.

\( \vec{r} \) por ser una línea, constituye una función vectorial de un solo parámetro. En este caso (para AB) es : \( \vec{r}(x)=x\vec{i}+\vec{k}, \ 0\leq{x}\leq{1} \), evidentemente el parámetro que se ha tomado es x

Considerando el parámetro se tiene :

\( W_{AB}=\displaystyle\int_{AB}^{}\vec{F}\cdot{d\vec{r}}=\displaystyle\int_{0}^{1} \ \vec{F}\cdot{\displaystyle\frac{d\vec{r}(x)}{dx}}\ dx=\displaystyle\int_{0}^{1} \ (x^2\vec{i}-xz\vec{j}+y^2\vec{k})\cdot{(\vec{i})} \ dx=\displaystyle\int_{0}^{1} \ (x^2\vec{i}-x\vec{j})\cdot{\vec{i}} \ dx \)

Por lo tanto : \( W_{AB}=\displaystyle\int_{0}^{1}x^2 \ dx=\displaystyle\frac{1}{3} \)

Se llega al mismo valor que has obtenido.

CD

\( W_{CD}=\displaystyle\int_{CD}^{}\vec{F}\cdot{d\vec{r}} \)

En este caso \( \vec{r} \) es la expresión vectorial del segmento CD.
Observa que el segmento esta en un plano paralelo al plano ZX, su coordenada y es constante e igual a 1. Por otra parte \( x=z \) en todo punto del segmento en consecuencia :

\( \vec{r}(z)=z\vec{i}+\vec{j}+z\vec{k}, \ 0\leq{z}\leq{1} \); pero ojo para recorrer el segmento  en el sentido indicado z varía desde 1 hasta 0.

La fuerza en CD, es : \( \vec{F}=z^2\vec{i}-z^2\vec{j}+\vec{k} \)

La derivada en CD es : \( \displaystyle\frac{d\vec{r}(z)}{dz}=\vec{i}+\vec{k} \)

Luego se tiene .

\( W_{CD}=\displaystyle\int_{1}^{0}(z^2\vec{i}-z^2\vec{j}+\vec{k})\cdot{(\vec{i}+\vec{k})} \ dz=\displaystyle\int_{1}^{0}(z^2+1) \ dz \)

Con esto creo que ya puedes concluir.

Saludos

[Supertal]

Muchas gracias delmar. Voy a darle unas vueltas a ver si lo entiendo bien.

[Supertal]

Creo que se me ha escapado algo en algún sitio porque la solución creo que debe ser \( W=0 \) aunque no estoy seguro
\[
\bar{OA}\rightarrow{}\vec{r}\left(z\right)=0\vec{i}+0\vec{j}+z\vec{k}=z\vec{k},\
para\ 0\leq{}z\leq{}1
\]

\[
W_{OA}=\int_0^1\vec{F}\cdot{}d\vec{r}=\int_0^1\vec{F}\cdot{}\frac{d\vec{r}(z)}{dz}\cdot{}dz=\int_0^1(x^2\vec{i}-xz\vec{j}+y^2\vec{k})\cdot{}(\vec{k})\cdot{}dz\stackrel{⏞}{=}^{x=y=0}=0
\]
\[
\bar{AB}\rightarrow{}\vec{r}\left(x\right)=x\vec{i}+0\vec{j}+1\vec{k}=x\vec{i}+\vec{k},\
para\ 0\leq{}x\leq{}1
\]

\[
W_{AB}=\int_0^1\vec{F}\cdot{}d\vec{r}=\int_0^1\vec{F}\cdot{}\frac{d\vec{r}\left(x\right)}{dx}\cdot{}dx=\int_0^1\left(x^2\vec{i}-xz\vec{j}+y^2\vec{k}\right)\cdot{}\left(\vec{i}\right)\cdot{}dx\stackrel{⏞}{=}^{y=0,z=1}\int_0^1\left(x^2\vec{i}-x\vec{j}\right)\cdot{}\left(\vec{i}\right)\cdot{}dx
\]

\[
W_{AB}=\int_0^1x^2\cdot{}dx=\frac{1}{3}
\]
\[
\bar{BC}\rightarrow{}\vec{r}\left(y\right)=1\vec{i}+y\vec{j}+1\vec{k}=\vec{i}+y\vec{j}+\vec{k},\
para\ 0\leq{}y\leq{}1
\]

\[
W_{BC}=\int_0^1\vec{F}\cdot{}d\vec{r}=\int_0^1\vec{F}\cdot{}\frac{d\vec{r}\left(y\right)}{dy}\cdot{}dy=\int_0^1\left(x^2\vec{i}-xz\vec{j}+y^2\vec{k}\right)\cdot{}\left(\vec{j}\right)\cdot{}dy\stackrel{⏞}{=}^{x=1,z=1}\int_0^1\left(\vec{i}-\vec{j}+y^2\vec{k}\right)\cdot{}\left(\vec{j}\right)\cdot{}dy
\]

\[
W_{BC}=\int_0^1-1\cdot{}dy=-1
\]
\[
\bar{CD}\rightarrow{}\vec{r}\left(z\right)=x\vec{i}+1\vec{j}+z\vec{k}\stackrel{⏞}{=}^{x=z}z\vec{i}+\vec{j}+z\vec{k},\
para\ 0\leq{}z\leq{}1
\]

\[
W_{CD}=\int_1^0\vec{F}\cdot{}d\vec{r}=\int_1^0\vec{F}\cdot{}\frac{d\vec{r}\left(z\right)}{dz}\cdot{}dz=\int_1^0\left(x^2\vec{i}-xz\vec{j}+y^2\vec{k}\right)\cdot{}\left(\vec{i}+\vec{k}\right)\cdot{}dz\stackrel{⏞}{=}^{x=z}\int_1^0\left(z^2\vec{i}-z^2\vec{j}+\vec{k}\right)\cdot{}\left(\vec{i}+\vec{k}\right)\cdot{}dz
\]

\[
W_{CD}=\int_1^0\left(z^2+1\right)\cdot{}dz=\int_1^0\left(z^2\right)\cdot{}dz+\int_1^0\left(1\right)\cdot{}dz=-\frac{1}{3}-1
\]
\[
\bar{DO}\rightarrow{}\vec{r}\left(y\right)=0\vec{i}+y\vec{j}+0\vec{k}=y\vec{j},\
para\ 0\leq{}y\leq{}1
\]

\[
W_{DO}=\int_1^0\vec{F}\cdot{}d\vec{r}=\int_1^0\vec{F}\cdot{}\frac{d\vec{r}\left(y\right)}{dy}\cdot{}dy=\int_1^0\left(x^2\vec{i}-xz\vec{j}+y^2\vec{k}\right)\cdot{}\left(\vec{j}\right)\cdot{}dy\stackrel{⏞}{=}^{x=0,z=0}\int_1^0\left(y^2\vec{k}\right)\cdot{}\left(\vec{j}\right)\cdot{}dz=0
\]
\[
W=W_{OA}+W_{AB}+W_{BC}+W_{CD}+W_{DO}=\frac{1}{3}-1-\frac{1}{3}-1=-2\ J
\]

[delmar]

Felicitaciones, la respuesta es correcta. Los casos en los que el trabajo de una fuerza es cero, a lo largo de una curva cerrada de tal manera que el origen coincide con el final, se da cuando la fuerza es conservativa; pero este no es el caso. Para que la fuerza sea conservativa las derivadas cruzadas han de ser iguales es decir : \( \frac{{\partial F_x}}{{\partial y}}=\frac{{\partial F_y}}{{\partial x}} \) y asi sucesivamente para las otras derivadas cruzadas, se puede verificar que en este caso no ocurre.

Un saludo.

[Supertal]

Muchas gracias por todo. Este problema era una espinita clavada desde hace tiempo.