[conchivgr]

Hola.

Estudiando los espacios métricos, me he encontrado con un ejemplo que introduce que toda función se puede obtener como superposición de senos y cosenos.

Sea \( f(x)=x^2-x+\displaystyle\frac{1}{6} \),

\( g(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{g_n(x)} \)

con

\( g_n(x)=\displaystyle\frac{cos(2 \pi nx)}{{\pi}^2n^2} \).

Ahora calcula la distancia \( \left |{f-g}\right |^2 \), y reordenando términos, queda que:

\( \left |{f-g}\right |^2=\displaystyle\sum_{n}{\displaystyle\sum_{n\neq{m}}{(g_ng_m)}}+2\displaystyle\sum_{n}{({g_n}^2-g_nf)}+(f^2-\displaystyle\sum_{n}{{g_n}^2}) \)

donde cada uno de los paréntesis tendrá integral nula (demostrando que \( f(x)=g(x) \)).

Se demostrar que las integrales de los paréntesis son nulas, pero ¿cómo ha reordenado los términos para la igualdad anterior?. No entiendo de dónde han salido tantos sumatorios, y el doble sumatorio.

Besos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Tienes que:

\(  (f-g)^2=f^2+g^2-2fg \)

\( \displaystyle g^2=\left(\sum_ng_n\right)\left(\sum_mg_m\right)=\left(\sum_ng_n\right)\left(\left(\sum_{m\neq n}g_m\right)+g_n\right)=
\left(\sum_ng_n\right)\left(\sum_{m\neq n}g_m\right)+\left(\sum_ng_n^2\right)=\\
=\displaystyle\left(\sum_n\sum_{m\neq n}g_ng_m\right)-\left(\sum_ng_n^2\right)+2\left(\sum_ng_n^2\right) \)

\( -2fg=-2\displaystyle\left(\sum_ng_nf\right) \)

Por tanto:

\( \displaystyle(f-g)^2=f^2+\displaystyle\left(\sum_n\sum_{m\neq n}g_ng_m\right)-\left(\sum_ng_n^2\right)+2\left(\sum_ng_n^2\right)-2\displaystyle\left(\sum_ng_nf\right)=\\
=\displaystyle\left(\sum_n\sum_{m\neq n}g_ng_m\right)+\left(f^2-\left(\sum_ng_n^2\right)\right)+2\left(\sum_n(g_n^2-2g_nf)\right) \)

Saludos.