Cuidado, una superfície (2-variedad) no tiene por qué estar embebida en \( \mathbb{R}^3 \), es algo intrínseco. Por ejemplo, el plano proyectivo o la botella de Klein no se puede embeber en \( \mathbb{R}^3 \). Sí que es cierto que toda superfície de Riemann (que a diferencia de las anteriores es orientable) se puede ver embebida en \( \mathbb{R}^3 \), pero esta no es la manera natural de pensar.
Una superfície es un espacio topológico localmente euclídeo (de dimensión 2), Hausdorff y 2-numerable. Una superfície de Riemann es una superfície con una estructura compleja, es decir, cartas a \( \mathbb{C} \), con cambios de carta analíticos. En particular, cada punto de la superfície tiene un entorno homeomorfo a un abierto de \( \mathbb{R}^2 \), luego es una superfície de manera natural (además diferenciable, pues los cambios de carta son diferenciables).
En el caso de curvas afines planas, hay un embedding natural de la superfície de Riemann en \( \mathbb{C}^2 \), o pensándolo en términos reales, en \( \mathbb{R}^4 \). Si ponemos coordenadas \( (z,w) \) en \( \mathbb{C}^2 \) y escribimos \( z=x+iy, w=u+iv \), podemos tomar coordenadas \( (x,y,u,v) \) en \( \mathbb{R}^4 \). Así por ejemplo, la curva compleja \( w=z^2 \) se puede escribir como \( u+iv = (x^2-y^2) +i2xy \), luego corresponde al conjunto
\( \{ (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \mid u = x^2-y^2, v=2xy \} \).
Que este subconjunto de \( \mathbb{R}^4 \) es una superfície diferenciable embebida se sigue del teorema de la función implícita.
