Bueno, son condiciones habituales que se exigen en la definición de variedad topológica, en general. Como supones, se exigen para excluir casos patológicos, que de todas formas no suelen ocurrir nunca de forma natural. Además exigir estas dos condiciones da una serie de herramientas útiles para trabajar con variedades que no tendrías si no las exigieras (por ejemplo, existencia de particiones de la unidad, o el hecho de que toda variedad es metrizable).
En particular, buena parte de los teoremas importantes sobre variedades no son ciertos sin imponer estas condiciones. Para el caso que nos ocupa, sin ir más lejos, la clasificación de las superfícies compactas y conexas, o el teorema de uniformización de superfícies de Riemann.
Es interesante ver ejemplos donde falla cada una de estas dos condiciones. Empecemos por Hausdorff. Toma tu variedad (o superfície de Riemann) favorita, \( M \), escoge un punto \( x \in M \) y considera el espacio topológico cociente \( M' = M \amalg M/\sim \), donde \( \sim \) es la relación de equicalencia en \( M \amalg M \) que identifica cada punto de una copia de \( M \) con el mismo punto de la otra copia, excepto en el caso de \( x \). Así pues, \( M' \) es igual que \( M \) excepto por el hecho de que tiene un punto "doblado" (donde antes había \( x \) ahora hay dos puntos distintos), pero los entornos de estos puntos son como los entornos de \( x \) en \( M \), así que \( M' \) sigue siendo localmente euclídeo y 2-numerable. Como dos entornos cualesquiera de estos dos puntos tienen intersección no vacía (la intersección es un entorno de \( x \) en \( M \), quizás quitándole \( x \)), no es Hausdorff. Además, si \( M \) tenía una estructura compleja, puedes dotar a \( M' \) de una estructura compleja.
Sobre la 2-numerabilidad, hay un ejemplo estúpido que es considerar uniones disjuntas no numerables de variedades (o superfícies de Riemann) conexas.
El ejemplo típico de "variedad" no 2-numerable conexa es la llamada línea larga. Se llama así porque es como la recta real, solo que más larga. Específicamente, puedes pensar la recta real como obtenida a partir de pegar un número numerable de intervalos cerrados por sus extremos (por ejemplo, los intervalos \( [n,n+1] \) para \( n \) entero. La línea larga se obtiene igual pero pegando un número no numerable de intervalos (concretamente, \( \omega_1 \) intervalos). Es fácil ver que este espacio es localmente euclídeo, Hausdorff, pero no es 2-numerable pues eligiendo un abierto en el interior de cada intervalo, tienes una família no numerable de abiertos disjuntos, luego no puede haber una base numerable de abiertos.
Te habrás dado cuenta que no he dado ningún ejemplo de "superfície de Riemann" conexa no 2-numerable. Esto es porque no existe. Es un teorema de Rado que cualquier "superfície de Riemann" (sin imponer que sea 2-numerable) conexa es automáticamente 2-numerable. Así que los únicos ejemplos de "superfícies de Riemann" no 2-numerables son aquellos que tienen un número no numerable de componentes conexas.
