[Hauss]

Ayuda para demostrar la siguiente proposicion:

"Demuestrese que f(x)|g(x) y g(x)|f(x) si y solo si f(x)=c*g(x), con c distinto de cero"

Gracias

[geómetracat]

De las hipótesis tienes que existen polinomios \( p(x),q(x) \) tales que
\( g(x) = f(x)p(x) \)
\( f(x) = g(x)q(x) \)
Combinando ambas igualdades,
\( g(x) = g(x)p(x)q(x) \)
Dr ahí concluimos que o bien \( g(x)=0 \) (y entonces también \( f(x)=0 \), así que hemos acabado), o bien \( p(x)q(x)=1 \). Mirando grados, tenemos que \( deg(p(x)) + deg(q(x)) = 0 \), lo cuál quierr decir que \( p(x),q(x) \) son constantes no nulas. En particular, \( g(x)=f(x)p(x) = cf(x) \).