[walyrodriguez]

NECESITO AYUDA

Si \( a > 0, b > 0, c > 0 \) tales que \( a + b < c. \)

Pruebe que:

\( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{b}{b+1}+\displaystyle\frac{c}{c+1} \)

Tengo varios días tratando de probar esto. Ya he sumado la parte derecha, después he utilizado factorización pero no me sale. El maestro quiere que use las propiedades de orden lineal solamente.

GRACIAS.

[martiniano]

Hola.

El enunciado es un poco confuso. Sospecho que quieres decir:

Si a, b y c son reales positivos tales que \( a+b<c \) entonces \( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{b}{b+1}+\displaystyle\frac{c}{c+1} \)

¿Es así? Si es así es sencillo. Observa que si \( a+b<c \) entonces \( a<c \) y que si \( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{c}{c+1} \) entonces \( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{b}{b+1}+\displaystyle\frac{c}{c+1} \). Luego todo se reduce a demostrar que si \( a<c \) entonces  \( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{c}{c+1} \) ¿Cómo ves esto último?

Saludos.

[walyrodriguez]

Hola.

El enunciado es un poco confuso. Sospecho que quieres decir:

Si a, b y c son reales positivos tales que \( a+b<c \) entonces \( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{b}{b+1}+\displaystyle\frac{c}{c+1} \)

¿Es así? Si es así es sencillo. Observa que si \( a+b<c \) entonces \( a<c \) y que si \( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{c}{c+1} \) entonces \( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{b}{b+1}+\displaystyle\frac{c}{c+1} \). Luego todo se reduce a demostrar que si \( a<c \) entonces  \( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{c}{c+1} \) ¿Cómo ves esto último?

Saludos.

Gracias por responder . Es justamente como lo replanteaste.

Mira como demuestro que si \( a<c \) entonces  \( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{c}{c+1} \) :

Si \( a<c \) entonces \( ac+a<ac+c \) entonces \( a(c+1)<c(a+1) \) entonces \( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{c}{c+1} \)

Lo que no me queda claro es porque dices que si \( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{c}{c+1} \) entonces \( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{b}{b+1}+\displaystyle\frac{c}{c+1} \)

Se puede ver que si \( a+b<c \) entonces \( a<c \) y tambien que \( b<c \)

Puedes explicarme por favor?

[martiniano]

Hola.

Mira como demuestro que si \( a<c \) entonces  \( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{c}{c+1} \) :

Si \( a<c \) entonces \( ac+a<ac+c \) entonces \( a(c+1)<c(a+1) \) entonces \( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{c}{c+1} \)

Me parece correcto.

Lo que no me queda claro es porque dices que si \( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{c}{c+1} \) entonces \( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{b}{b+1}+\displaystyle\frac{c}{c+1} \)

Lo que dices que te falta es una consecuencia inmediata de que \( \displaystyle\frac{b}{b+1} \) es un real positivo (AÑADIDO (perdón)) , ya que entonces:

\(  \displaystyle\frac{c}{c+1}\leq{}\displaystyle\frac{b}{b+1} + \displaystyle\frac{c}{c+1}  \)

Se puede ver que si \( a+b<c \) entonces \( a<c \) y tambien que \( b<c \)

Sí.

Saludos.

[walyrodriguez]

Hola.

Mira como demuestro que si \( a<c \) entonces  \( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{c}{c+1} \) :

Si \( a<c \) entonces \( ac+a<ac+c \) entonces \( a(c+1)<c(a+1) \) entonces \( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{c}{c+1} \)

Me parece correcto.

Lo que no me queda claro es porque dices que si \( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{c}{c+1} \) entonces \( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{b}{b+1}+\displaystyle\frac{c}{c+1} \)

Lo que dices que te falta es una consecuencia inmediata de que \( \displaystyle\frac{b}{b+1} \) es un real positivo (AÑADIDO (perdón)) , ya que entonces:

\(  \displaystyle\frac{c}{c+1}\leq{}\displaystyle\frac{b}{b+1} + \displaystyle\frac{c}{c+1}  \)

Se puede ver que si \( a+b<c \) entonces \( a<c \) y tambien que \( b<c \)

Sí.

Saludos.

 
Gracias, ya entendí, me salvaste

[hméndez]

... Observa que si \( a+b<c \) entonces \( a<c \) y que si \( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{c}{c+1} \) entonces \( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{b}{b+1}+\displaystyle\frac{c}{c+1} \). Luego todo se reduce a demostrar que si \( a<c \) entonces  \( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{c}{c+1} \) ...

 

Hola martiniano, disculpa pero más que resolver el problema, "me causa mucho ruido" tu razonamiento; no se si estoy pasando algo por alto, pero
lo que dices allí a mi manera de ver no esta bien. Usando argumentos de lógica proposicional, eso se podría simbolizar así:

\( (p\rightarrow{q}) \wedge (r\rightarrow{s})\Rightarrow{}(p\rightarrow{r} ) \leftrightarrow (q\rightarrow{s}) \)

y puedes revisarlo y probar que no es un razonamiento válido. Repito no se si estoy pasando algo por alto.

Saludos

[martiniano]

Hola hmendez.

Yo lo que quería decir, más bien es que

\( (p\rightarrow{q}) \wedge(q\rightarrow{r}) \wedge(r\rightarrow{s}) \Rightarrow{}(p\rightarrow{s})  \)

Donde

\( p:a+b<c \)
\( q:a<c \)
\( r:\displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{c}{c+1} \)
\( s:\displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{b}{b+1}+\displaystyle\frac{c}{c+1} \)

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

También se puede resolver multiplicando por \(  (a+1) \cdot (b+1) \cdot (c+1)  \).
\( \displaystyle \dfrac{a}{a+1} \ \triangle \ \dfrac{b}{b+1} + \dfrac{c}{c+1}  \) queda:
\( \displaystyle abc + ac +ab +a \ \triangle \ 2abc+2bc+ac+ab+c+b  \) simplificamos:
\( \displaystyle a \ \triangle \ abc +  2bc + c+ b  \)
Entonces \(  \triangle \equiv <  \)

[Luis Fuentes]

Hola

Si \( a > 0, b > 0, c > 0 \) tales que \( a + b < c. \)

Pruebe que:

\( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{b}{b+1}+\displaystyle\frac{c}{c+1} \)

Tengo varios días tratando de probar esto. Ya he sumado la parte derecha, después he utilizado factorización pero no me sale. El maestro quiere que use las propiedades de orden lineal solamente.

¿Estás seguro de que es así el resultado?. Tal como está es cierto y es correcta la demostración que te han propuesto y has terminado. Sin embargo me parece poco natural; es una cota muy bruta donde realmente lo único que se usa es que \( a<c \).

Parecería más interesante este resultado. Si \( \color{red}a<b+ c\color{black} \) entonces:

\( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{b}{b+1}+\displaystyle\frac{c}{c+1} \)

Aquí no se tiene que \( a<c \) y la cota es algo más sutil.

En ese caso la prueba podría ser algo así:

1) Prueba que: \( a<b+c\quad \Rightarrow{}\quad \dfrac{a}{a+1}<\dfrac{b+c}{b+c+1} \).

Es análogo a lo que ya has demostrado.

2) Después:

\(  \dfrac{a}{a+1}<\dfrac{b+c}{b+c+1}=\dfrac{b}{b+c+1}+\dfrac{c}{b+c+1}<\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1} \)

Saludos.

[walyrodriguez]

Hola

Si \( a > 0, b > 0, c > 0 \) tales que \( a + b < c. \)

Pruebe que:

\( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{b}{b+1}+\displaystyle\frac{c}{c+1} \)

Tengo varios días tratando de probar esto. Ya he sumado la parte derecha, después he utilizado factorización pero no me sale. El maestro quiere que use las propiedades de orden lineal solamente.

¿Estás seguro de que es así el resultado?. Tal como está es cierto y es correcta la demostración que te han propuesto y has terminado. Sin embargo me parece poco natural; es una cota muy bruta donde realmente lo único que se usa es que \( a<c \).

Parecería más interesante este resultado. Si \( \color{red}a<b+ c\color{black} \) entonces:

\( \displaystyle\frac{a}{a+1}<\displaystyle\frac{b}{b+1}+\displaystyle\frac{c}{c+1} \)

Aquí no se tiene que \( a<c \) y la cota es algo más sutil.

En ese caso la prueba podría ser algo así:

1) Prueba que: \( a<b+c\quad \Rightarrow{}\quad \dfrac{a}{a+1}<\dfrac{b+c}{b+c+1} \).

Es análogo a lo que ya has demostrado.

2) Después:

\(  \dfrac{a}{a+1}<\dfrac{b+c}{b+c+1}=\dfrac{b}{b+c+1}+\dfrac{c}{b+c+1}<\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1} \)

Saludos.

Es interesante lo que dices pero en la forma que lo plantee fue la manera que el maestro lo propuso