Hola
“Sean \( p(x),q(x)\in{C[ x ]} \) si \( t(x)=p(x)+q(x) \) y \( s(x)=p(x)q(x) \)
Entonces,
\( t(w)=p(w)+q(w) \)
Y
\( s(w)=p(w)q(w) \) ”.
No queda claro en el enunciado quien es \( w \). Supongo que \( w\in \mathbb{C} \) y básicamente tienes que probar que el morfismo evaluación es un morfismo de anillos.
Es muy inmediato. Si tienes:
\( p(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}a_nx^n,\qquad q(x)=\displaystyle\sum_{l=0}^m{}b_mx^m \)
Entonces por definición:
\( s(x)=p(x)q(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n+m}{}\displaystyle\sum_{\begin{array}{c}{0\leq i\leq n}\cr{0\leq j\leq m}\cr{i+j=k}\cr\end{array}}a_ib_jx^k \)
Y así:
\( s(w)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n+m}{}\displaystyle\sum_{\begin{array}{c}{0\leq i\leq n}\cr{0\leq j\leq m}\cr{i+j=k}\cr\end{array}}a_ib_jw^k \)
Pero:
\( p(w)q(w)=\left(\displaystyle\sum_{k=0}^n{}a_nx^n\right)\left(\displaystyle\sum_{l=0}^m{}b_mx^m\right)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n+m}{}\displaystyle\sum_{\begin{array}{c}{0\leq i\leq n}\cr{0\leq j\leq m}\cr{i+j=k}\cr\end{array}}a_ib_jw^k \)
La suma es todavía más simple.
Saludos.
