[maga]

Hola necesito ayuda con el siguiente problema:
Un resorte de masa 0.01 kg tiene una longitud en equilibrio de 0.2 m. Una fuerza de 500 N lo mantiene estirado hasta el doble de su longitud original. El resorte se lo deja en libertad desde la posición de equilibrio con una celeridad de 0.1 m/s.
a) Obtenga el valor de la constante elástica del resorte e interprete este valor.
b) Escriba la solución general de la ecuación del movimiento.
c) Halle la solución particular de la ecuación de movimiento, aplicando las condiciones iniciales del problema
d) Calcule el tiempo que tarda el resorte en recorrer una distancia igual a cuatro veces la amplitud de oscilación
e)Escriba las expresiones de elongación, celeridad y aceleración en función del tiempo
f) Determine energía cinética y potencial en el instante t= T/8
Respuestas:
a) Por la ley de Hooke
\( F=K\times{x} \)
\( 500= K\times{0,2} \)
\( k=2500 N/m \)
Interpretación: se necesita una fuerza de 2500 N, para estirar el resorte 1 metro.
b)Solución general:
\( x(t)= A \sen (\omega t+\varphi) \)
c) Condiciones iniciales:
\( x(0)= 0,2 m \)
\( v(0)=0,1 m/s \)
Aplicando formulas:
A= 0,2
\( \varphi=-0,057 \)
Solución Particular
\( x(t)= 0,2 \sen (500 t -0,057) \) (Mi gran duda: ¿el -0,057 está bien?)
D) NO SE COMO RESOLVERLO!!!
E) \( v(t)=100 \cos (500 t -0,057) \)
\( a(t)=-50000 sen (500 t -0,057) \)
F)No se como resolverlo!!!

[martiniano]

Hola.

El C) no lo tienes bien.

Debes calcular primero \( \omega=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{k}{m}} \). Esto parece que lo has hecho en un apartado posterior. Y luego tener en cuenta que:

\( x(t)=A\sin(\omega\,t+\varphi) \)  y también que  \( v=\frac{dx}{dt}=A\omega\cos(\omega\,t+\varphi) \)

Entonces, al substituir:

\( x(0)=0.2 \)
\( v(0)=0.1\,m/s \)

Sacarás un sistema de donde podrás calcular \( \varphi \) y \( A \) . Es sencillo, el truco está en que dividiendo estas dos ecuaciones:

\( 0.2=A\sin(\varphi) \)
\( 0.1=A\omega\cos(\varphi) \)

Se van las \( A \) y se llega a esto:

\( 2=\displaystyle\frac{\tan(\varphi)}{\omega} \)

En el apartado D) te están pidiendo el periodo:

\( T=\displaystyle\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{m}{k}}=... \)

En el F) utiliza los resultados obtenidos en el E) para calcular la velocidad y la elongación en el instante que te dan. Y podrás calcular:

\( E_c(T/8)=\displaystyle\frac{1}{2}m(v(T/8))^2 \)
\( E_p(T/8)=\displaystyle\frac{1}{2}k(x(T/8))^2 \)

Un saludo.

[maga]

me surge una duda en la condición inicial??
x(0) es 0 m o es 0,2 metros? o se toma 0,2 por que se lo deja en libertad en la posición de equilibrio?

[martiniano]

Hola.

Sí. Tienes razón. La elongación inicial es 0 porque partes de la posición de equilibrio.

Así sistema queda más sencillo todavía. ¿Lo puedes resolver?

Saludos.