Autor Tema: Intento n = 4 sin descenso (III)

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25 Febrero, 2019, 08:55 am
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Fernando Moreno

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Hola, a ver si ahora:

Supongo que:  \( z^4=x^4+y^4 \) ;  para  \( x,y,z \)  enteros, coprimos dos a dos y que  \( x\not\equiv y \)  mod \( 2 \) .

1)  Por tanto:  \( z^4=(x^2+y^2i)\,(x^2-y^2i) \) .  Como  " \( x^2+y^2i \) "  \( \wedge \)  " \( x^2-y^2i \) "  son coprimos, son cuando menos cuadrados perfectos. Así:  " \( x^2+y^2i \) "  admite la siguiente factorización en  \( \mathbb{Z[ i ]} \) :  \( x^2+y^2i=\epsilon\,(s+ti)^2 \) ;  para  \( \epsilon=\pm 1,\pm i  \)  (las unidades de  \( \mathbb{Z[ i ]} \) )  -y-  \( s,t \)  enteros, coprimos y uno de ellos par. De esta manera:   \( (x^2+y^2i)^2=\epsilon^2\,(s+ti)^4 \)   \( \wedge \)   \( x^4-y^4+2x^2y^2i\,=\,\pm\,(s^4+4s^3ti+6s^2t^2i^2+4st^3i^3+t^4i^4) \) .

Luego:  \( x^4-y^4=\pm\,(s^4+t^4-6s^2t^2) \)   \( \wedge \)   \( 2x^2y^2i=\pm\,(4s^3ti+4st^2i^3) \)   \( \Rightarrow \)   \( 2x^2y^2=\pm\,(4st(s^2-t^2)) \) .  Si la unidad fuera:  \( -1 \) ;  tendríamos que:  \( 2x^2y^2=-4st(s^2-t^2) \) .  Como no puede ser, tomamos:  \( +1 \) .  Y :  \( x^4-y^4=s^4+t^4-6s^2t^2 \)   \( \wedge \)   \( 2x^2y^2=4st(s^2-t^2) \) .     

2)  Como:  \( z^4=x^4+y^4 \) ;  entonces también:  \( (z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2 \)  y sus soluciones en forma de ternas pitagóricas serán:

\( z^2=p^2+q^2 \)  ;  \( x^2=2pq \)  \( \wedge \)  \( y^2=p^2-q^2 \) ;  para  \( p,q \)  coprimos -y-  \( q \)  par.

Módulo 5, por el Pequeño Teorema de Fermat,  \( z^4=x^4+y^4 \)  \( \Rightarrow \)  \( 1=1+1 \) .  Como es imposible, 5 divide a una de estas tres variables. Tampoco puede ser á  " \( z \) " ,  porque si no tendríamos:  \( 0=1+1 \) .  Luego debe ser á  “ \( x \) “  ó á  “ \( y \) “ . Si no es á  \( x \) ,  entonces no divide ni á  \( p \)  ni á  \( q \) .  Como los residuos cuadráticos de 5 son:  \( 1,4 \)  (si excluimos a \( 0 \) ) .  Entonces:  \( y^2=p^2-q^2\equiv 0 \)  \( = \)  \( 1-1 \)  ó  \( = \)  \( 4-4 \)  mod \( 5 \) .  Pero entonces tendríamos que  \( z^2=p^2+q^2\equiv 2,3 \)  mod \( 5 \) .  Lo que no puede ser. Luego 5 divide á  \( p \)  ó  \( q \)  y por lo tanto á  " \( x \) " .

3)  Teníamos que:  \( x^4-y^4=s^4+t^4-6s^2t^2 \) .  Módulo 5, es claro que:  \( x^4-y^4=-1 \) .  Pero,  ¿ y:  " \( s^4+t^4-6s^2t^2 \) " ?  Veámoslo:

Si:  \( 5\nmid s,t \) .  Entonces Módulo 5:  \( s^4+t^4\,=\,1+1 \)   \( \wedge \)   \( 6s^2t^2\,=\,6\cdot(1,4)\,=\,6,24 \) .  Luego:  \( s^4+t^4-6s^2t^2\,=\,2-6\equiv 1 \)   \( \vee \)   \( s^4+t^4-6s^2t^2\,=\,2-24\equiv 3 \) .  Y no puede ser.     

Y si:  \( 5\mid s\,\vee\,t \) .  Entonces Módulo 5:  \( s^4+t^4-6s^2t^2=1 \) .  Y tampoco puede ser.


Un saludo, 
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr

25 Febrero, 2019, 10:59 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Luego:  \( x^4-y^4=\pm\,(s^4+t^4-6s^2t^2) \)   \( \wedge \)   \( 2x^2y^2i=\pm\,(4s^3ti+4st^2i^3) \)   \( \Rightarrow \)   \( 2x^2y^2=\pm\,(4st(s^2-t^2)) \) .  Si la unidad fuera:  \( -1 \) ;  tendríamos que:  \( 2x^2y^2=-4st(s^2-t^2) \) .  Como no puede ser, tomamos:  \( +1 \) .  Y :  \( x^4-y^4=s^4+t^4-6s^2t^2 \)   \( \wedge \)   \( 2x^2y^2=4st(s^2-t^2) \) .   

 ¿Y por qué no puede ser?. Puede ocurrir que \( s^2-t^2<0 \).

Saludos.

25 Febrero, 2019, 11:56 am
Respuesta #2

Fernando Moreno

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Hola,

¿Y por qué no puede ser?. Puede ocurrir que \( s^2-t^2<0 \).

Cierto.

Reconozco que este tema no es difícil, porque es lo siguiente. Sdos,
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr