[Zeta]

Hola a todos,

Sean \( A,B,C \) tres puntos no alineados de un plano afín. Dados \( A',B',C' \) distintos de \( A,B,C \) y pertenecientes a las rectas \( BC, CA, AB \) respectivamente. Probar que;

\( (A',B,C)\cdot{}(B',C,A)\cdot{}(C',A,B) = 1 \iff A',B',C' \) están alineados.

En primer lugar tomamos como referencial \( R=\{A,\{AB, AC\}\} \) así tenemos;

\(  A = (0,0)  \)
\(  B = (1,0)  \)
\(  C = (0,1)  \)

\(  BC = (1,0) + <(-1,1)> \) y como \( A'\in BC \), \( A' = (1-\lambda, \lambda) \)
\(  CA = (0,0) + <(0,-1)>  \) y como \( B'\in CA \), \( B' = (0, -\beta) \)
\(  AB = (0,0) + <(1,0)>  \) y como \( C'\in AB \), \( C' =( \alpha, 0) \)

Y por último,

\( (A',B,C) = \frac{\lambda}{\lambda -1} \)
\( (B',C,A) = \frac{\beta + 1}{\beta} \)
\( (C',A,B) = \frac{-\alpha}{1-\alpha} \)

Spoiler

\( \rightarrow] \) Si \( (A',B,C)\cdot{}(B',C,A)\cdot{}(C',A,B) = 1 \rightarrow  \frac{\lambda}{\lambda -1} \cdot{} \frac{\beta + 1}{\beta} \cdot \frac{-\alpha}{1-\alpha} = 1  \). Por otro lado el punto \( A' \) se puede escribir como \( (k\alpha, -k\beta) \), y sustituyendo tenemos; \(  \frac{1+\beta}{1-\alpha}= 1 \) de donde \( \beta = -\alpha \). De aquí, \( C'=(-\beta,0) \),  pero no consigo ver que los tres punto están alineados.

\( \leftarrow] \) Si \( A',B',C' \) están alineados existe una recta que pasa por ellos, en particular \( l = (0, -\beta) + <(\alpha, \beta)> \) y en consecuencia \( A' = (k\alpha, (k-1)\beta)  \). A partir de ahí no consigo sacar el que el producto da \( 1 \).

He pensado en coger otro referencial pero creo que llegaría al mismo sitio.

[cerrar]

Gracias de antemano.

Saludos!

[Luis Fuentes]

Hola

 Quitando denominadores en:

\(  \dfrac{\lambda}{\lambda -1} \cdot{} \dfrac{\beta + 1}{\beta} \cdot \dfrac{-\alpha}{1-\alpha} = 1 \)

queda:

\( -\lambda(\beta+1)\alpha=(\lambda-1)\beta(1-\alpha) \)

Simplificando:

\( \beta\lambda-\beta+\beta \alpha+\lambda\alpha=0 \)

Por otra parte los puntos \( A',B',C' \) están alineados si y sólo si:

\( det(A'-C',B'-C')=0 \)

Equivalentemente:

\( det\begin{pmatrix}{1-\lambda-\alpha}&{\lambda}\\{-\alpha}&{-\beta}\\\end{pmatrix}=0 \)

Operando:

\( -\beta+\beta\lambda+\alpha\beta+\alpha\lambda=0 \).

Saludos.

[Zeta]

En referencia al mismo ejercicio. Las rectas \( AA', BB', CC'  \) son concurrentes en un punto o paralelas \( \iff (A',B,C)\cdot (B',C,A)\cdot (C',A,B) = -1 \).

En primer lugar;

\( AA' = (0,0) + <(1-\lambda, \lambda)> \)
\( BB' = (1,0) + <(-1,-\beta)>  \)
\( CC' = (0,1) + <(\alpha, -1)>  \).

Si las rectas son paralelas utilizando la proporcionalidad de las direcciones y los determinantes se llega rápido al resultado. Si son concurrentes, han de serlo al baricentro del triángulo \( ABC \) de donde \( A',B',C' \) son los puntos medios de \( BC, CA, AB \) respectivamente. Es decir; \( A' = (1/2, 1/2), B'=(0,1/2), C' = (1/2, 0) \) y sustituyendo las coordenadas en la fórmula del producto de las razones simples sale el resultado.

Por otro lado, si \( (A',B,C)\cdot (B',C,A)\cdot (C',A,B) = -1 \) entonces \(  -\lambda\alpha + \lambda\beta - \beta + \beta\alpha = 0 \). No termino de ver como llegar a que son paralelas o concurrentes.

Saludos!

[Luis Fuentes]

Hola

En referencia al mismo ejercicio. Las rectas \( AA', BB', CC'  \) son concurrentes en un punto o paralelas \( \iff (A',B,C)\cdot (B',C,A)\cdot (C',A,B) = -1 \).

En primer lugar;

\( AA' = (0,0) + <(1-\lambda, \lambda)> \)
\( BB' = (1,0) + <(-1,-\beta)>  \)
\( CC' = (0,1) + <(\alpha, -1)>  \).

Si las rectas son paralelas utilizando la proporcionalidad de las direcciones y los determinantes se llega rápido al resultado. Si son concurrentes, han de serlo al baricentro del triángulo \( ABC \) de donde \( A',B',C' \) son los puntos medios de \( BC, CA, AB \) respectivamente. Es decir; \( A' = (1/2, 1/2), B'=(0,1/2), C' = (1/2, 0) \) y sustituyendo las coordenadas en la fórmula del producto de las razones simples sale el resultado.

Por otro lado, si \( (A',B,C)\cdot (B',C,A)\cdot (C',A,B) = -1 \) entonces \(  -\lambda\alpha + \lambda\beta - \beta + \beta\alpha = 0 \). No termino de ver como llegar a que son paralelas o concurrentes.

No tengo tiempo de detallar más pero haz lo siguiente.

Escribe la ecuación implícita de las tres rectas; son paralelas o concurrentes si la matriz ampliada del sistema tiene determinante nulo. Comprueba que la anulación de ese determinante equivale precisamente a la ecuación que has obtenido al imponer la condición de producto de razones igual a \( -1 \).

Saludos.