Hola
Utilizando el teorema de la función implícita, hallar todos los puntos del gráfico de la ecuación \( 9x^2+4y^2=36 \) en los que la recta tangente a la misma es paralela a la recta \( y=3x \).
No sé exactamente en que formato puedes usar el teorema. Una consecuencia directa del mismo es que la recta tangente a una curva \( f(x,y)=0 \) en un punto \( P=(x_0,y_0) \) de la misma es:
\( \dfrac{df}{dx}(P)(x-x_0)+\dfrac{df}{dy}(P)(y-y_0)=0 \)
En tu caso \( f(x,y)=9x^2+4y^2-36 \). La tangente en \( (x_0,y_0) \)queda:
\( 18x_0(x-x_0)+8y_0(y-y_0)=0 \)
\( 9x_0x+4y_0y-9x_0^2-4y_0^2=0 \)
Para que sea paralela a \( 3x-y=0 \) tiene que cumplirse la proporcionalidad de coeficientes:
\( \dfrac{9x_0}{3}=-\dfrac{4y_0}{-1} \)
Además como el punto \( (x_0,y_0) \) ha de estar en la curva:
\( 9x_0^2+4y_0^2=36 \)
Termina...
Saludos.
