Hola
Hola buenas,
Disponemos de una ecuación como la siguiente:
\( T(n) = 5T(n-1) -8T(n-2) +4T(n-3) \)
Entonces yo sé que la metodología aplicada consiste en llevar todos los términos afectados por T a un lado de la igualdad tal que así:
\( T(n) - 5T(n-1) + 8T(n-2) - 4T(n-3) = 0 \)
Y entonces se hace lo siguiente:
\( x^3-5x^2+8x -4 = 0 \)
Mi pregunta es, matemáticamente ¿como se llega ahí?
Es decir, se que siempre si tengo la fórmula de las recurrencias homogenas tal que:
\( a_0 T(n) + a_1 T(n-1) + ... + a_k T(n-k)=0 \)
Sé que siempre el primer exponente de la x inicial corresponde a k. Por eso en el ejemplo anterior x está elevado a 3, porque T(n-k) era 3
Entiendo es que lo que quieres saber es en que se basa ese método, es decir, porque el polinomio característico asociado a una ecuación de recurrencia ayuda a resolverlo.
La idea es la siguiente. Supón que tienes una ecuación:
\( a_0 T(n) + a_1 T(n-1) +\ldots+ a_k T(n-k)=0 \) (1)
Buscamos una solución de la forma:
\( T(n)=b^n \)
Susituyendo en (1):
\( a_0b^n+a_1b^{n-1}+\ldots+a_kb^{n-k}=0 \)
\( b^{n-k}(a_0b^k+a_1b^{k-1}+\ldots+a_k)=0 \)
De ahí se deduce que si
\( b \) es raíz del polinomio:
\( a^0x^k+a_1x^{k-1}+\ldots+a_k=0 \)
entonces \( b^n \) es solución de la recurrencia.Saludos.
CORREGIDO
