.... Yo siempre lo resolvía por el método de mínimos cuadrados pero me encontré con este ejercicio, el cual hay que decir si es verdadero o falso:
- Dadas las matrices A de 3x4, B de 3x1 y el sistema Ax=B incompatible, entonces la mejor aproximación puede hallarse a través de la pseudoinversa.
Tu sistema es \( A\,X=B \)
Multiplicando ambos miembros por la traspuesta: \( A^tA\,X=A^t\,B \)
Si analizas \( P=A^tA \) y \( Q=A^t\,B \) te vas a encontrar con que son las mismas matrices que te habrían quedado plantenado mínimos cuadrados \( M\,X=Q \)
La solución es \( X = P^{-1}\,Q= \underbrace{(A^tA)^{-1}A^t}_{A^+}\,B \)
\( A^+=(A^tA)^{-1}A^t \) es precisamente la pseudoinversa.
Leí algunos libros y vi videos en yt y cuando resuelven por pseudoinversa es lo mismo que yo hago en mínimos cuadrados, ¿Es el mismo método con diferente nombre? Y si no es así, ¿Cuando se puede utilizar cada método?
Si se trata de una regresión lineal a mano o se busca eficiencia computacional es mejor la forma tradicional armando las matrices \( P=A^tA \) , \( Q=A^t\,B \) y luego resolver por Gauss el sistema \( P \,X=Q \) por la simple razón que resolver el sistema por Gauss es menos trabajo que calcular la inversa y luego multiplicarla por otra matriz.
Pero si vamos a usar software es mas económico escribir la pseudoinversa. Por ejemplo en Matlab la solución de tu sistema se escribe directamente \( X=A \text{ \ } B \) (la barra invertida significa que usará la inversa de \( A \) si es cuadrada y la pseudoinversa si no)
