[Quema]

Hola si tengo dos v.a. independientes \( X,Y \)

a) quiero hallar la función de densidad de \( Z=aX+(1-a)Y \)estoy trancado en los pasos detallados a seguir. Se por un tema anterior que

\( h(z)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x/a)g((z-x)/(1-a))dx \)

pero no se cómo se llega.

b) Si estas dos v.a. fueran simétricas, \( Z \)también lo sería, no?

[cormonse]

Intentare ayudarte, primero suponemos que conocemos la función densidad de la v.a. X: f(x) y de la v.a. Y: g(y), como dices que son independientes tenemos que la función densidad conjunta vale:

\( f(x,y)=f(x)*f(y) \)

Bien ahora existe un teorema de transformación de variables aleatorias que dice así: Sean X e Y v.a. con distribución de probabilidad conjunta f(x,y), sea z=z(x,y), t=t(x,y) una transformación biunívoca y continua tal que el determinante del Jacobiano:

\( \left |{J}\right |=\left |{\begin{bmatrix}\frac{{\partial z}}{{\partial x}}&{\frac{{\partial z}}{{\partial y}}}\\{\frac{{\partial t}}{{\partial x}}}&{\frac{{\partial t}}{{\partial y}}}\end{bmatrix}}\right | \)

es no nulo. En estas condiciones tenemos que la función de densidad conjunta de las v.a. Z y T viene dada por:

\( p(z,t)=f[v(z,t),w(z,t)]\cdot{\left |{J_1}\right |} \)

donde \( \left |{J_1}\right | \) es el determinante de la transformación inversa definida por x=v(z,t) y y=w(z,t).

Aplicamos el teorema de la siguiente manera:

Z=aX+(1-a)Y
T=X

Podemos comprobar como \( \left |{J}\right |=a-1 \), por lo que está transformación es válida para cualquier valor de a excepto el 1. La transformación inversa viene dada por:

\( X=T \)
\( Y=\displaystyle\frac{Z}{1-a}-\displaystyle\frac{aT}{1-a} \)

El determinante de la transformación inversa vale:

\( \left |{J_1}\right |=\left |\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{\displaystyle\frac{1}{1-a}}&{\displaystyle\frac{-a}{1-a}}\end{bmatrix}\right |=
\displaystyle\frac{1}{a-1} \)

Por tanto estamos en condiciones de afirmar que la distribución conjunta de las v.a. Z y T viene dada por:

\( p(z,t)=\displaystyle\frac{1}{a-1}f(t,\displaystyle\frac{z}{1-a}-\displaystyle\frac{at}{1-a})=\displaystyle\frac{1}{a-1}f(t)g(\displaystyle\frac{z}{1-a}-\displaystyle\frac{at}{1-a}) \)

Ahora bien, introdujimos T=X para poder aplicar nuestro teorema de transformación pero solo estamos interesados en calcular la función de densidad de la v.a. Z, para ello obtenemos la función de densidad marginal de Z:

\( h(z)=p_z(t,z)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{a-1}f(t)g(\displaystyle\frac{z}{1-a}-\displaystyle\frac{at}{1-a})dt \)

PD: aunque las integrales no coinciden deben dar el mismo resultado, depende de la transformación que eligas para la variable T.

Un saludo,

[Luis Fuentes]

Hola

 El desarrollo de cormonse es correcto. Tan solo le falta corregir un signo, ya que teniendo en cuenta que \( a\in (0,1) \) y el Jacobiano se toma en valor absoluto, quedaría:

\( h(z)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{1-a}f(t)g(\displaystyle\frac{z}{1-a}-\displaystyle\frac{at}{1-a})dt \)

 Y no es lo mismo que la fórmula que puso Quema, a su vez indicada por mi, porque cometí un error. Para la suma de dos variables si es cierto que:

 \( Z=X+Y\quad \Rightarrow{} \quad h(z)=\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x)g(z-x)dx \)

 Para pasar de ahí a \( Z=aX+(1-a)Y \) basta tener en cuenta que las densidades de \( X'=aX \) y \( Y'=(1-A)Y \) son respectivamente:

 \( f_1(x')=\displaystyle\frac{1}{a}f(\displaystyle\frac{x'}{a}) \)

 \( g_1(y')=\displaystyle\frac{1}{1-a}g(\displaystyle\frac{y'}{1-a}) \)

 De manera que:

 \( h(z)=\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f_1(x)g_1(z-x)dx=\displaystyle\int_{-\infty}^\infty \displaystyle\frac{1}{a}\displaystyle\frac{1}{1-a}f(\displaystyle\frac{x}{a})g(\displaystyle\frac{z-x}{1-a})dx \)

 Esto si coincide con el desarrollo de cormonse si hacemos el cambio de variable \( x=at \).

Saludos.

[Quema]

Si \( X,Y \)además de independientes son simétricas, \( Z \)también lo será no?

[Luis Fuentes]

Hola

 Si. Basta tener en cuenta que, por ser \( f \) y \( g \) simétricas:

\(  h(-z)=\displaystyle\frac{1}{a(1-a)}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x/a)g((-z-x)/(1-a))dx= \)

      \( =\displaystyle\frac{1}{a(1-a)}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(-x/a)g((z+x)/(1-a))dx \)

 Ahora haz el cambio de variable \( t=-x \).

Saludos.