Autor Tema: Intento UTF3 por descenso - NO FALSADA -

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12 Febrero, 2019, 01:13 pm
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Fernando Moreno

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Hola,

Supongo que:  \( \alpha^3=\beta^3+\gamma^3 \) ,  para  \( \alpha,\beta,\gamma \)  enteros de  \( \mathbb{Z[\omega]} \)  (los enteros ciclotómicos de orden 3 o enteros de Eisenstein, para:  \( \omega=\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}\,=\,e^{2\pi i/3}) \) ;  y que son coprimos dos a dos.

Estrategia: Deducir que si este supuesto es verdadero, entonces existirán unos  \( \alpha'',\beta'', \gamma'' \)  tales que:  \( \alpha''\,^3=\beta''\,^3+\gamma''\,^3 \) ;  en los que el factor  \( \lambda=\omega-1 \) ,  que necesariamente divide a una y sólo a una de estas tres variables, tendrá un exponente menor que el que tenía como divisor en la correspondiente variable de las de partida; iniciándose así un descenso infinito.

Lema 1:  \( \alpha^3=(a+b\omega)^3\equiv\pm 1 \) mod \( 9 \) ;  si  \( \lambda\nmid\alpha \)  (y por tanto:  \( 3=-\omega^2\lambda^2\nmid\alpha^3 \)) ; para unos \( a,b\in{\mathbb{Z}} \) .

Demostración:

Supongamos que:  \( \alpha=a+b\omega \)  -y- que:  \( \lambda\nmid\alpha \) .

Como:  \( (a+b\omega)^3=a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3 \) .  Tendré:  \( (a+b\omega)^3\equiv a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3 \) mod \( 9 \) .  Si:  \( a^3\equiv -b^3 \) mod \( 9 \)  ó viceversa; entonces:  \( a^3+b^3\equiv 0 \) mod \( 9 \)   \( \wedge \)   \( (a+b\omega)^3=3a^2b\omega+3ab^2\omega^2 \) mod \( 9 \)   \( \wedge \)   \( (a+b\omega)^3\equiv 3\alpha \) mod \( 9 \)   \( \wedge \)   \( (a+b\omega)^3\equiv 0 \) mod \( 3 \) .  Pero como  \( \lambda\mid 3 \) ;  no puede ser.  Luego ó :  \( 3\mid a\vee b \)  y entonces directamente:  \( (a+b\omega)^3\equiv\pm 1 \) ,  ó :  \( a^3\equiv b^3 \) mod \( 9 \)   \( \wedge \)   \( a^3+b^3\equiv\pm 2 \) mod \( 9 \).

De esta última forma:  \( (a+b\omega)^3\equiv \pm 2+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2 \) mod \( 9 \)   \( \wedge \)   \( (a+b\omega)^3\equiv \pm 2+(3a^2b-3ab^2)\omega-3ab^2 \) mod \( 9 \)   \( \wedge \)   \( (a+b\omega)^3\equiv \pm 2+3ab(a-b)\omega-3ab^2 \) mod \( 9 \) .  Como:  \( a^3\equiv b^3 \) mod \( 9 \) ;  entonces: \( a^3\equiv b^3 \) mod \( 3 \)   \( \wedge \)   \( a\equiv b \) mod \( 3 \) .  Luego:  \( a-b\equiv 0 \) mod \( 3 \)   \( \wedge \)   \( (a+b\omega)^3\equiv \pm 2-3ab^2 \) mod \( 9 \) .

Analicemos:

Para:  \( a^3,b^3\equiv 1 \) mod \( 9 \) ;  entonces:  " \( 3ab^2 \) "  \( = \)  \( 3\cdot (1,4,7)\cdot (1,4,7)\equiv 3 \) ;  porque:  \( a\equiv 1,4,7 \) mod \( 9 \)  (si:  \( a^3\equiv 1 \) mod \( 9 \))  -y-  los residuos cuadráticos de  " \( b^2 \) "  módulo \( 9 \) , son:  \( 1,4,7 \) . Luego:  \( (a+b\omega)^3\equiv 2-3=-1 \) mod \( 9 \) .

Y para:  \( a^3,b^3\equiv -1 \) mod \( 9 \) ;  entonces:  " \( 3ab^2 \) "  \( = \)  \( 3\cdot (2,5,8)\cdot (1,4,7)\equiv 6 \) ;  porque:  \( a\equiv 2,5,8 \) mod \( 9 \)  (si:  \( a^3\equiv -1 \) mod \( 9 \))  -y-  los residuos cuadráticos de  " \( b^2 \) "  módulo \( 9 \) , son:  \( 1,4,7 \) . Luego:  \( (a+b\omega)^3\equiv -2-6=-8=1 \) mod \( 9 \) .

Por tanto:  \( (a+b\omega)^3\equiv\pm 1 \) mod \( 9 \) .

Lema 2:  \( \alpha^3=(a+b\omega)^3\equiv 1 \) mod \( 2 \) ;  si  \( 2\nmid\alpha \)  (" \( 2 \) "  es primo en  \( \mathbb{Z[\omega]} \)) ; para unos \( a,b\in{\mathbb{Z}} \) .

Demostración:

Supongamos que:  \( \alpha=a+b\omega \)  -y- que:  \( 2\nmid\alpha \) .

Como:  \( (a+b\omega)^3=a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3 \) .  Tendré:  \( (a+b\omega)^3\equiv a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3 \) mod \( 2 \) .  Luego:  \( (a+b\omega)^3\equiv (3a^2b-3ab^2)\omega+a^3+b^3-3ab^2 \) mod \( 2 \)   \( \wedge \)   \( (a+b\omega)^3\equiv 3ab(a-b)\omega+a^3+b^3-3ab^2 \) mod \( 2 \) .  Si  \( a\,\vee\,b \)  son pares, entonces:  \( b^3\,\vee\,a^3 \) ,  el otro término respectivo al cubo, que será impar, quedará solamente como congruente módulo \( 2 \) .  Por tanto:  \( a^3,b^3\equiv 1 \) mod \( 2 \) .  Y si  \( a\,\wedge\,b \)  son los dos impares, la otra posibilidad que nos queda, entonces:   \( (a+b\omega)^3\equiv a^3+b^3-3ab^2\equiv 1 \) mod \( 2 \) ;  puesto que:  \( 3ab(a-b)\omega\equiv 0 \) mod \( 2 \) .

Tenemos pues que:  \( \alpha^3=\beta^3+\gamma^3 \) .  Si  “ \( 3 \) “  no dividiera a ninguna de estas variables, tendríamos módulo 9, por el Lema 1, que:  \( \pm 1=\pm1\pm 1 \) .  Y que:  \( \pm 1\neq\,\pm 2\,\vee\,0 \) .  Luego  \( 9 \)  y por tanto  \( 3 \)  ( \( 3^k \) )  debe dividir a una de ellas. Pongamos que á  “ \( \alpha \) “ .

De la misma manera, si  “ \( 2 \) “  no dividiera a ninguna de estas variables, tendríamos módulo 2, por el Lema 2, que:  \( 1=1+1 \) . Como no puede ser,  \( 2 \)  divide a una de ellas. Pongamos también que á  “ \( \alpha \) “ .

Como:  \( \beta^3,\gamma^3\equiv 1 \) mod \( 2 \) .  Entonces:  \( 2\mid \beta^3+\gamma^3 \)   \( \wedge \)   \( 2\mid \beta^3-\gamma^3 \) .  Pero:  \( \beta^3+\gamma^3=(\beta+\gamma)((\beta+\gamma)^2-3\beta\gamma) \) .  Luego  \( 2\mid \beta+\gamma \) ,  porque no divide á  \( 3\beta\gamma \) .  Y lo mismo ocurre con:   \( \beta^3-\gamma^3=(\beta-\gamma)((\beta-\gamma)^2+3\beta\gamma) \) :  \( 2 \)  dividirá á  \( \beta-\gamma \) .

Llamo ahora:  \( \sigma=\dfrac{\beta+\gamma}{2} \)   \( \wedge \)   \( \tau=\dfrac{\beta-\gamma}{2} \) .  Tenemos que:  \( (\sigma,\tau)=1 \)  y además que una de las letras será divisible entre 2, puesto que  " \( \beta+\gamma \) "  \( \vee \)  " \( \beta-\gamma \) "  debe ser congruente con  \( 0 \)  módulo \( 4 \) .

De esta forma:  \( \beta=\sigma+\tau \)   \( \wedge \)   \( \gamma=\sigma-\tau \)   \( \wedge \)   \( \alpha^3=(\sigma+\tau)^3+(\sigma-\tau)^3 \)   \( \Rightarrow \)   \( \alpha^3=2\sigma(\sigma^2+3\tau^2) \) .

Partimos de que  \( 3^{3k} \)  divide á  \( \alpha^3 \) .  Luego:  \( 3^{3k-1}\mid 2\sigma \)   ;   \( 3\mid \sigma^2+3\tau^2 \)   \( \wedge \)   \( 3^{6k-2}\mid \sigma^2 \) .  Si dividimos entre  \( 3^{3k} \) ,  tendremos:   \( \alpha’\,^3=2\sigma’(3^{6k-3}\sigma’\,^2+\tau^2) \) .  Como  " \( 2\sigma’ \) "   \( \wedge \)   " \( 3^{6k-3}\sigma’\,^2+\tau^2 \) " ,  son ahora coprimos; serán terceras potencias. Y :  \( \mu^3=2\sigma’ \)   \( \wedge \)   \( \nu^3=3^{6k-3}\sigma’\,^2+\tau^2 \) .

“ \( 3 \) “ ,  en  \( \mathbb{Z[\omega]} \) ,  como hemos visto, es:  \( -\omega^2\lambda^2 \) .  Luego es un cuadrado:  \( 3=i^2\omega^2\lambda^2 \) .   

De esta manera:  \( \nu^3=(i\omega\lambda)^{12k-6}\sigma’\,^2+\tau^2\,=\,\left({(i\omega\lambda)^{6k-3}\sigma’+\tau i}\right)\,\left({(i\omega\lambda)^{6k-3}\sigma'-\tau i}\right) \) .  Y como:  " \( \left({(i\omega\lambda)^{6k-3}\sigma’+\tau i}\right) \) "   \( \wedge \)   " \( \left({(i\omega\lambda)^{6k-3}\sigma'-\tau i}\right) \) "  son coprimos; serán a su vez terceras potencias.

Si multiplico ahora por  "\( i^3 \) "  en  " \( \left({(i\omega\lambda)^{6k-3}\sigma’+\tau i}\right) \) "   \( \wedge \)   " \( \left({(i\omega\lambda)^{6k-3}\sigma'-\tau i}\right) \) " ;  tendré:  \( i^{6k}(\omega\lambda)^{6k-3}\sigma'+\tau \)   \( \wedge \)   \( i^{6k}(\omega\lambda)^{6k-3}\sigma'-\tau \) .  Como  " \( i^{6k} \) "  tiene un exponente par, el resultado sólo puede ser   \( +1 \)  ó  \( -1 \) .  Luego tendremos los cubos:  " \( \pm(\omega\lambda)^{6k-3}\sigma'+\tau \) "   \( \wedge \)   " \( \pm(\omega\lambda)^{6k-3}\sigma'-\tau \) " .   

Esto es que:  \( \pm 2\sigma'(\omega\lambda)^{6k-3}=\pm(\omega\lambda)^{6k-3}\sigma'+\tau\pm(\omega\lambda)^{6k-3}\sigma'-\tau \) ;  donde  \( \pm 2\sigma' \)  es a su vez un cubo ( \( \pm\mu^3 \) ) .

Y si:  \( \alpha''\,^3=\pm 2\sigma'(\omega\lambda)^{6k-3} \) ;  \( \beta''\,^3=\pm(\omega\lambda)^{6k-3}\sigma'+\tau \)  \( \wedge \)  \( \gamma''\,^3= \tau\pm(\omega\lambda)^{6k-3}\sigma'-\tau \) .  Entonces:  \( \alpha''\,^3=\beta''\,^3+\gamma''\,^3 \)  -y-  " \( \lambda^{6k-3} \) "  divide á  \( \alpha''\,^3 \) ,  cuando antes era  \( 3^{3k}= \)" \( -\lambda^{6k} \) "  el que dividía á  \( \alpha^3 \) .


Un saludo,     
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12 Febrero, 2019, 05:13 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Un primer detalle que no me queda del todo claro.

Tenemos pues que:  \( \alpha^3=\beta^3+\gamma^3 \) .  Si  “ \( 3 \) “  no dividiera a ninguna de estas variables, tendríamos módulo 9, por el Lema 1, que:  \( \pm 1=\pm1\pm 1 \) .  Y que:  \( \pm 1\neq\,\pm 2\,\vee\,0 \) .  Luego  \( 9 \)  y por tanto  \( 3 \)  ( \( 3^k \) )  debe dividir a una de ellas. Pongamos que á  “ \( \alpha \) “ .

 Si lo entiendo bien según el Lema 1, lo que deduces de ahí es que 3 debe de dividir a \( \alpha^3,\beta^3 \) ó \( \gamma^3 \) pero NO necesariamente a \( \alpha,\beta,\gamma \) que es lo que parece que afirmas al final.

Saludos.

12 Febrero, 2019, 07:09 pm
Respuesta #2

Fernando Moreno

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Hola Luis.

Un primer detalle que no me queda del todo claro.

Tenemos pues que:  \( \alpha^3=\beta^3+\gamma^3 \) .  Si  “ \( 3 \) “  no dividiera a ninguna de estas variables, tendríamos módulo 9, por el Lema 1, que:  \( \pm 1=\pm1\pm 1 \) .  Y que:  \( \pm 1\neq\,\pm 2\,\vee\,0 \) .  Luego  \( 9 \)  y por tanto  \( 3 \)  ( \( 3^k \) )  debe dividir a una de ellas. Pongamos que á  “ \( \alpha \) “ .

 Si lo entiendo bien según el Lema 1, lo que deduces de ahí es que 3 debe de dividir a \( \alpha^3,\beta^3 \) ó \( \gamma^3 \) pero NO necesariamente a \( \alpha,\beta,\gamma \) que es lo que parece que afirmas al final.

Llevas razón claro. Sólo puedo afirmar en principio que:  \( \lambda^2\mid \alpha^3 \) .  No obstante puedo hacer cierta ampliación. Dado que:  \( \alpha^3=2\sigma(\sigma^2+3\tau^2) \) ;  entonces:  \( \lambda^2\mid 2\sigma(\sigma^2+3\tau^2) \)  y por lo tanto:  \( \lambda\mid\sigma \)  y eso hará que en realidad:  \( \lambda^3\mid\alpha^3 \) .  Puesto que:  \( 3=-\omega^2\lambda^2 \) .  Pero claro, esto me lo pone todo patas arriba. Pero no me quejo, he tenido suerte: ¡sólo era un detalle! jaja

En fin. Creo que aún tiene solución. En vez de rehacer toda la demostración y en previsión de más detalles, bosquejo lo que podría ser el apaño si te parece bien:

Parto de:  \( \alpha^3=2\sigma(\sigma^2+3\tau^2) \) .  Si divido entre  " \( \lambda^3 \) "  tendré:  \( \alpha'\,^3=2\sigma'(\sigma'\,^2-\omega^2\tau^2) \) .  Como  " \( 2\sigma' \) "   \( \wedge \)   " \( \sigma'\,^2-\omega^2\tau^2 \) "  son terceras potencias y este último es a su vez:  \( (\sigma'+\omega\tau)\,(\sigma'-\omega\tau) \) .  Ambos coprimos y cubos a su vez. Entonces tendré que:  \( 2\sigma'=\sigma'+\omega\tau+\sigma'-\omega\tau \) .  Bastaría ahora decir que:  \( \alpha''\,^3=2\sigma' \)  ,  \( \beta''\,^3=\sigma'+\omega\tau \)  ,  \( \gamma''\,^3=\sigma'-\omega\tau \)   -y- tendríamos que:  \( \alpha''\,^3=\beta''\,^3+\gamma''\,^3 \) .  Ahora el descenso no podría basarse claro en un supuesto menor exponente del factor  " \( \lambda \) " ;  si no en que es notorio que:  \( \alpha''\,^3=2\sigma'\,<\,\beta+\gamma \)  es menor que:  \( \alpha^3=\beta^3+\gamma^3 \) .


Muchas gracias por la revisión. Un saludo,
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13 Febrero, 2019, 10:47 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

 Vaya por delante que te voy comentando detalles que no veo claros, y en cuanto veo uno paro. Es decir no he revisado el conjunto de la demostración.

Ahora el descenso no podría basarse claro en un supuesto menor exponente del factor  " \( \lambda \) " ;  si no en que es notorio que:  \( \alpha''\,^3=2\sigma'\,<\,\beta+\gamma \)  es menor que:  \( \alpha^3=\beta^3+\gamma^3 \) .

 Aquí hay algo que merece la pena ser aclarado y detallado. Los enteros ciclotómicos no están ordenados (no al menos de la manera usual compatible con las operaciones). Entonces no puedes usar alegremente un \( < \) que compare dos enteros ciclotómicos. Si puedes usar para compararlos la norma \( N(a+bw) \); pero en ese caso merece la pena que no dejes la afirmación en un simple "es notorio" sino que detalles con precisión exactamente la desigualdad entre normas que quieres escribir, su demostración y la demostración de sus consecuencias. Por supuesto para esto puedes basarte en las propiedades de la norma, es decir, no se trata tampoco de probar cosas ya conocidas.

Saludos.

13 Febrero, 2019, 12:01 pm
Respuesta #4

Fernando Moreno

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Hola,

Vaya por delante que te voy comentando detalles que no veo claros, y en cuanto veo uno paro. Es decir no he revisado el conjunto de la demostración.

Ahora el descenso no podría basarse claro en un supuesto menor exponente del factor  " \( \lambda \) " ;  si no en que es notorio que:  \( \alpha''\,^3=2\sigma'\,<\,\beta+\gamma \)  es menor que:  \( \alpha^3=\beta^3+\gamma^3 \) .

 Aquí hay algo que merece la pena ser aclarado y detallado. Los enteros ciclotómicos no están ordenados (no al menos de la manera usual compatible con las operaciones). Entonces no puedes usar alegremente un \( < \) que compare dos enteros ciclotómicos. Si puedes usar para compararlos la norma \( N(a+bw) \); pero en ese caso merece la pena que no dejes la afirmación en un simple "es notorio" sino que detalles con precisión exactamente la desigualdad entre normas que quieres escribir, su demostración y la demostración de sus consecuencias. Por supuesto para esto puedes basarte en las propiedades de la norma, es decir, no se trata tampoco de probar cosas ya conocidas.

Ok a todo. Muchas gracias

Tenemos por una parte que:  \( \alpha''\,^3=2\sigma'\,=\,2\,\dfrac{\sigma}{\lambda} \)   -y- por otra que:  \( \alpha^3=2\sigma(\sigma^2+3\tau^2) \) .  Las Normas en  \( \mathbb{Z[\omega]} \)  representan números enteros usuales, por lo tanto son comparables y además son multiplicativas. De esta manera, si tomamos Normas en  " \( \alpha''\,^3 \) "  \( \wedge \)  " \( \alpha^3 \) " ,  tendremos que:   \( N(\alpha''\,^3)=4\,\dfrac{N(\sigma)}{N(\lambda)} \)   -y- que:  \( N(\alpha^3)=4N(\sigma)N(\sigma^2+3\tau^2) \) .  Por lo tanto:  \( N(\alpha''\,^3)\,<\,N(\alpha^3) \) .  Lo que da lugar al inicio de un descenso. 
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18 Febrero, 2019, 04:49 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Tenemos por una parte que:  \( \alpha''\,^3=2\sigma'\,=\,2\,\dfrac{\sigma}{\lambda} \)   -y- por otra que:  \( \alpha^3=2\sigma(\sigma^2+3\tau^2) \) .  Las Normas en  \( \mathbb{Z[\omega]} \)  representan números enteros usuales, por lo tanto son comparables y además son multiplicativas. De esta manera, si tomamos Normas en  " \( \alpha''\,^3 \) "  \( \wedge \)  " \( \alpha^3 \) " ,  tendremos que:   \( N(\alpha''\,^3)=4\,\dfrac{N(\sigma)}{N(\lambda)} \)   -y- que:  \( N(\alpha^3)=4N(\sigma)N(\sigma^2+3\tau^2) \) .  Por lo tanto:  \( N(\alpha''\,^3)\,<\,N(\alpha^3) \) .  Lo que da lugar al inicio de un descenso. 

De acuerdo en parte. Pero dos nuevos detalles para alcarar...  :D

"Sin pérdida de generalidad" supones dos cosas al mismo tiempo que \( \alpha \) es divisible por \( 2 \) y por \( \lambda \). Pero entonces si estás perdiendo generalidad. En cuanto supones una de las dos cosas (por ejemplo ser par), distingues a la variable \( \alpha \) como "especial" frente a las otras dos. Entonces tienes que justificar si necesariamente de ahí se deduce que también es esa misma variable la que es divisible por \( \lambda \) y que pasaría si fuese otra.

Aunque esto no solventa por si solo el detalle anterior, en general te puede ser cómodo escribir la ecuación como \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) (es indiferente sin más que cambiar de signo el nombre de una de las variables) lo cual deja claro el papel simétrico de las tres.

Por otra parte y relacionado con lo anterior, intentas justificar la posibilidad del descenso viendo que la norma de \( \alpha \) disminuye en la nueva tripleta. Pero eso no es suficiente, porque  ¿y si resulta que aumenta la norma de alguna de las otras dos variables y al aplicarle el mismo razonamiento fuese ese variable que ha aumentado la que ahora juega el papel de \( \alpha \)? Entonces el descenso no funcionaría.

Entonces tienes que controlar que efectivamente "desciendes" con algún valor que no dependa de cuál de las tres variables has distinguido.

Saludos.

19 Febrero, 2019, 07:23 pm
Respuesta #6

Fernando Moreno

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Hola,

De acuerdo en parte. Pero dos nuevos detalles para alcarar...  :D

Dicen que el diablo está en los detalles; pero igual no es verdad..   >:D

De todas formas decir que la demostración, si sale, es gracias a ti; como cualquiera ha podido comprobar.

"Sin pérdida de generalidad" supones dos cosas al mismo tiempo que \( \alpha \) es divisible por \( 2 \) y por \( \lambda \). Pero entonces si estás perdiendo generalidad. En cuanto supones una de las dos cosas (por ejemplo ser par), distingues a la variable \( \alpha \) como "especial" frente a las otras dos. Entonces tienes que justificar si necesariamente de ahí se deduce que también es esa misma variable la que es divisible por \( \lambda \) y que pasaría si fuese otra.

Aunque esto no solventa por si solo el detalle anterior, en general te puede ser cómodo escribir la ecuación como \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) (es indiferente sin más que cambiar de signo el nombre de una de las variables) lo cual deja claro el papel simétrico de las tres.

Por otra parte y relacionado con lo anterior, intentas justificar la posibilidad del descenso viendo que la norma de \( \alpha \) disminuye en la nueva tripleta. Pero eso no es suficiente, porque  ¿y si resulta que aumenta la norma de alguna de las otras dos variables y al aplicarle el mismo razonamiento fuese ese variable que ha aumentado la que ahora juega el papel de \( \alpha \)? Entonces el descenso no funcionaría.

Entonces tienes que controlar que efectivamente "desciendes" con algún valor que no dependa de cuál de las tres variables has distinguido.


Ok. Supongo que:  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  para  \( \alpha,\beta,\gamma \)  enteros de  \( \mathbb{Z[\omega]} \)  (los enteros ciclotómicos de orden 3 o enteros de Eisenstein, para:  \( \omega=\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}\,=\,e^{2\pi i/3}) \) ;  y que son coprimos dos a dos.

Estrategia: Como demostraré más adelante, supongo que una de las variables y sólo una es par y que una de las variables y sólo una es múltiplo de  \( \lambda=\omega-1 \) .  Mi objetivo es demostrar que si todos los supuestos anteriores son verdaderos, entonces existirán unos  \( \alpha'',\beta'',\gamma'' \)  tales que:  \( \alpha''\,^3+\beta''\,^3+\gamma''\,^3=0 \) ;  en los que el factor  " \( \lambda \) "  correspondiente tendrá un exponente menor que el que tenía como divisor en la variable de partida; iniciándose así un descenso infinito. Y distinguiré 2 casos para no perder la generalidad: 1) Cuando  " \( \lambda \) "  divida a la variable par y 2) Cuando  " \( \lambda \) "  divida a una de las variables impares.

Lema 1:  \( \eta^3=(a+b\omega)^3\equiv\pm 1 \) mod \( 9 \) ;  si  \( \lambda\nmid\eta \)  (y por tanto:  \( 3=-\omega^2\lambda^2\nmid\eta^3 \)) ; para unos \( a,b\in{\mathbb{Z}} \) .

Demostración:

Supongamos que:  \( \eta=a+b\omega \)  -y- que:  \( \lambda\nmid\eta \) .

Como:  \( (a+b\omega)^3=a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3 \) .  Tendré:  \( (a+b\omega)^3\equiv a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3 \) mod \( 9 \) .  Si:  \( a^3\equiv -b^3 \) mod \( 9 \)  ó viceversa; entonces:  \( a^3+b^3\equiv 0 \) mod \( 9 \)   \( \wedge \)   \( (a+b\omega)^3=3a^2b\omega+3ab^2\omega^2 \) mod \( 9 \)   \( \wedge \)   \( (a+b\omega)^3\equiv 3\alpha \) mod \( 9 \)   \( \wedge \)   \( (a+b\omega)^3\equiv 0 \) mod \( 3 \) .  Pero como  \( \lambda\mid 3 \) ;  no puede ser.  Luego ó :  \( 3\mid a\vee b \)  y entonces directamente:  \( (a+b\omega)^3\equiv\pm 1 \) ,  ó :  \( a^3\equiv b^3 \) mod \( 9 \)   \( \wedge \)   \( a^3+b^3\equiv\pm 2 \) mod \( 9 \).

De esta última forma:  \( (a+b\omega)^3\equiv \pm 2+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2 \) mod \( 9 \)   \( \wedge \)   \( (a+b\omega)^3\equiv \pm 2+(3a^2b-3ab^2)\omega-3ab^2 \) mod \( 9 \)   \( \wedge \)   \( (a+b\omega)^3\equiv \pm 2+3ab(a-b)\omega-3ab^2 \) mod \( 9 \) .  Como:  \( a^3\equiv b^3 \) mod \( 9 \) ;  entonces: \( a^3\equiv b^3 \) mod \( 3 \)   \( \wedge \)   \( a\equiv b \) mod \( 3 \) .  Luego:  \( a-b\equiv 0 \) mod \( 3 \)   \( \wedge \)   \( (a+b\omega)^3\equiv \pm 2-3ab^2 \) mod \( 9 \) .

Analicemos:

Para:  \( a^3,b^3\equiv 1 \) mod \( 9 \) ;  entonces:  " \( 3ab^2 \) "  \( = \)  \( 3\cdot (1,4,7)\cdot (1,4,7)\equiv 3 \) ;  porque:  \( a\equiv 1,4,7 \) mod \( 9 \)  (si:  \( a^3\equiv 1 \) mod \( 9 \))  -y-  los residuos cuadráticos de  " \( b^2 \) "  módulo \( 9 \) , son:  \( 1,4,7 \) . Luego:  \( (a+b\omega)^3\equiv 2-3=-1 \) mod \( 9 \) .

Y para:  \( a^3,b^3\equiv -1 \) mod \( 9 \) ;  entonces:  " \( 3ab^2 \) "  \( = \)  \( 3\cdot (2,5,8)\cdot (1,4,7)\equiv 6 \) ;  porque:  \( a\equiv 2,5,8 \) mod \( 9 \)  (si:  \( a^3\equiv -1 \) mod \( 9 \))  -y-  los residuos cuadráticos de  " \( b^2 \) "  módulo \( 9 \) , son:  \( 1,4,7 \) . Luego:  \( (a+b\omega)^3\equiv -2-6=-8=1 \) mod \( 9 \) .

Por tanto:  \( (a+b\omega)^3\equiv\pm 1 \) mod \( 9 \) .

Lema 2:  \( \eta^3=(a+b\omega)^3\equiv 1 \) mod \( 2 \) ;  si  \( 2\nmid\eta \)  (" \( 2 \) "  es primo en  \( \mathbb{Z[\omega]} \)) ; para unos \( a,b\in{\mathbb{Z}} \) .

Demostración:

Supongamos que:  \( \eta=a+b\omega \)  -y- que:  \( 2\nmid\eta \) .

Como:  \( (a+b\omega)^3=a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3 \) .  Tendré:  \( (a+b\omega)^3\equiv a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3 \) mod \( 2 \) .  Luego:  \( (a+b\omega)^3\equiv (3a^2b-3ab^2)\omega+a^3+b^3-3ab^2 \) mod \( 2 \)   \( \wedge \)   \( (a+b\omega)^3\equiv 3ab(a-b)\omega+a^3+b^3-3ab^2 \) mod \( 2 \) .  Si  \( a\,\vee\,b \)  son pares, entonces:  \( b^3\,\vee\,a^3 \) ,  el otro término respectivo al cubo, que será impar, quedará solamente como congruente módulo \( 2 \) .  Por tanto:  \( a^3,b^3\equiv 1 \) mod \( 2 \) .  Y si  \( a\,\wedge\,b \)  son los dos impares, la otra posibilidad que nos queda, entonces:   \( (a+b\omega)^3\equiv a^3+b^3-3ab^2\equiv 1 \) mod \( 2 \) ;  puesto que:  \( 3ab(a-b)\omega\equiv 0 \) mod \( 2 \) .

Si  “ \( \lambda \) “  y por tanto  \( 3 \)  no dividiera a ninguna de estas variables, tendríamos módulo 9, por el Lema 1, que:  \( \pm 1=\pm1\pm 1 \) .  Y que:  \( \pm 1\neq\,\pm 2\,\vee\,0 \) .  Luego  \( 9 \)  y por tanto  \( \lambda^4 \)  (pues:  \( 9=\omega\lambda^4 \))  divide á una de ellas.

De la misma manera, si  “ \( 2 \) “  no dividiera a ninguna de estas variables, tendríamos módulo 2, por el Lema 2, que:  \( 1=1+1 \) . Como no puede ser,  \( 2 \)  divide a una de ellas.

CASO 1:  " \( \lambda \) " divide a la variable par.

Supongamos que la variable par es  " \( \alpha^3 \) " .  Entonces, si:  \( -\alpha^3=\beta^3+\gamma^3 \)   \( \wedge \)   \( \lambda^4\mid-\alpha^3 \) .  Como:  \( \beta^3,\gamma^3\equiv 1 \) mod \( 2 \) .  Entonces:  \( 2\mid \beta^3+\gamma^3 \)   \( \wedge \)   \( 2\mid \beta^3-\gamma^3 \) .  Pero:  \( \beta^3+\gamma^3=(\beta+\gamma)((\beta+\gamma)^2-3\beta\gamma) \) .  Luego  \( 2\mid \beta+\gamma \) ,  porque no divide á  \( 3\beta\gamma \) .  Y lo mismo ocurre con:   \( \beta^3-\gamma^3=(\beta-\gamma)((\beta-\gamma)^2+3\beta\gamma) \) :  \( 2 \)  dividirá á  \( \beta-\gamma \) .

Llamo ahora:  \( \sigma=\dfrac{\beta+\gamma}{2} \)   \( \wedge \)   \( \tau=\dfrac{\beta-\gamma}{2} \) .  Tenemos que:  \( (\sigma,\tau)=1 \)  y además una de las letras será divisible entre 2, puesto que  " \( \beta+\gamma \) "  \( \vee \)  " \( \beta-\gamma \) "  debe ser congruente con  \( 0 \)  módulo \( 4 \) .

De esta forma:  \( \beta=\sigma+\tau \)   \( \wedge \)   \( \gamma=\sigma-\tau \)   \( \wedge \)   \( -\alpha^3=(\sigma+\tau)^3+(\sigma-\tau)^3 \)   \( \Rightarrow \)   \( -\alpha^3=2\sigma(\sigma^2+3\tau^2) \) .

Como  \( \lambda^4\mid-\alpha^3 \)  y  \( \lambda \)  es primo en  \( \mathbb{Z[\omega]} \) ;  entonces como mínimo:  \( \lambda^6\mid-\alpha^3 \) .  Esto significa que:  \( \lambda^4\mid 2\sigma \)   ;   \( \lambda^2\mid \sigma^2-\omega^2\lambda^2\tau^2 \)  (pues: \( 3=-\omega^2\lambda^2 \))   \( \wedge \)   \( \lambda^8\mid \sigma^2 \) .  Si dividimos ahora entre  \( \lambda^6 \) ,  tendremos:   \( -\alpha’\,^3=2\sigma’(\lambda^6\sigma’\,^2-\omega^2\tau^2) \)   .  Como  " \( 2\sigma’ \) "   \( \wedge \)   " \( \lambda^6\sigma’\,^2-\omega^2\tau^2 \) " ,  son ahora coprimos; serán terceras potencias. Y :  \( \mu^3=2\sigma’ \)   \( \wedge \)   \( \nu^3=\lambda^6\sigma’\,^2-\omega^2\tau^2 \) .

De esta manera:  \( \nu^3=\lambda^6\sigma’\,^2-\omega^2\tau^2\,=\,\left({\lambda^3\sigma'+\omega\tau}\right)\,\left({\lambda^3\sigma'-\omega\tau}\right) \) .  Y como:  " \( \lambda^3\sigma'+\omega\tau \) "   \( \wedge \)   " \( \lambda^3\sigma'-\omega\tau \) "  son coprimos; serán a su vez terceras potencias.

Esto es, que:  \( 2\sigma'\lambda^3=\lambda^3\sigma'+\omega\tau+\lambda^3\sigma'-\omega\tau \) ;  donde  \( 2\sigma' \)  es a su vez un cubo ( \( \mu^3 \) ) .

Y si:  \( -\alpha''=2\sigma'\lambda^3 \) ;  \( \beta''=\lambda^3\sigma'+\omega\tau \)  \( \wedge \)  \( \gamma''=\lambda^3\sigma'-\omega\tau \) .  Entonces:  \( \alpha''\,^3+\beta''\,^3+\gamma''\,^3=0 \)  -y-  " \( \lambda^3 \) "  divide á  \( -\alpha''\,^3 \) ,  cuando antes  " \( \lambda^6 \) "  dividía á  \( -\alpha^3 \) .

CASO 2: " \( \lambda \) "  divide a una variable impar.

Supongamos que la variable par es de nuevo  " \( \alpha^3 \) "  -y- que  \( \lambda^4 \)  divide á  " \( \beta^3 \) " .  Entonces, si:  \( -\beta^3=\alpha^3+\gamma^3 \) .  Y llamo ahora:  \( \sigma=\dfrac{\alpha+\gamma}{2} \)   \( \wedge \)   \( \sigma'=2\sigma \)  ;  \( \tau=\dfrac{\alpha-\gamma}{2} \)   \( \wedge \)   \( \tau'=2\tau \) .  Sólo  \( \sigma' \)  \( \wedge \)  \( \tau' \)  seguirán siendo enteros ciclotómicos.

De esta forma:  \( \alpha=\sigma+\tau \)   \( \wedge \)   \( \gamma=\sigma-\tau \)   \( \wedge \)   \( -\beta^3=(\sigma+\tau)^3+(\sigma-\tau)^3 \)   \( \Rightarrow \)   \( -\beta^3=2\sigma(\sigma^2+3\tau^2) \) .  Si multiplico por  \( 2^3 \) ,  tendré:  \( -8\beta^3=4\sigma(4\sigma^2+12\tau^2) \)   \( \wedge \)   \( -8\beta^3=2\sigma'(\sigma'\,^2-\omega^2\lambda^2\tau'\,^2) \)  (pues: \( 3=-\omega^2\lambda^2 \)) .   

Como  \( \lambda^4\mid-\beta^3 \)  y  \( \lambda \)  es primo en  \( \mathbb{Z[\omega]} \) ;  entonces como mínimo:  \( \lambda^6\mid-\beta^3 \) .  Esto significará que:  \( \lambda^4\mid 2\sigma' \)   ;   \( \lambda^2\mid \sigma'\,^2-\omega^2\lambda^2\tau'\,^2 \)   \( \wedge \)   \( \lambda^8\mid \sigma'\,^2 \) .  Si dividimos ahora entre  \( \lambda^6 \) ,  tendremos:   \( -8\beta’\,^3=2\sigma’'(\lambda^6\sigma’'\,^2-\omega^2\tau'\,^2) \)   .  Como  " \( 2\sigma'’ \) "   \( \wedge \)   " \( \lambda^6\sigma’'\,^2-\omega^2\tau'\,^2 \) " ,  son ahora coprimos; serán terceras potencias. Y :  \( \mu^3=2\sigma’' \)   \( \wedge \)   \( \nu^3=\lambda^6\sigma’'\,^2-\omega^2\tau'\,^2 \) .

De esta manera:  \( \nu^3=\lambda^6\sigma’'\,^2-\omega^2\tau'\,^2\,=\,\left({\lambda^3\sigma''+\omega\tau'}\right)\,\left({\lambda^3\sigma''-\omega\tau'}\right) \) .  Y como:  " \( \lambda^3\sigma''+\omega\tau' \) "   \( \wedge \)   " \( \lambda^3\sigma''-\omega\tau' \) "  son coprimos; serán a su vez terceras potencias.

Esto es, que:  \( 2\sigma''\lambda^3=\lambda^3\sigma''+\omega\tau'+\lambda^3\sigma''-\omega\tau' \) ;  donde  \( 2\sigma'' \)  es a su vez un cubo ( \( \mu^3 \) ) .

Y si:  \( -\beta''=2\sigma''\lambda^3 \) ;  \( \alpha''=\lambda^3\sigma''+\omega\tau' \)  \( \wedge \)  \( \gamma''=\lambda^3\sigma''-\omega\tau' \) .  Entonces:  \( \alpha''\,^3+\beta''\,^3+\gamma''\,^3=0 \)  -y-  " \( \lambda^3 \) "  divide á  \( -\beta''\,^3 \) ,  cuando antes  " \( \lambda^6 \) "  dividía á  \( -\beta^3 \) .


Un saludo,
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07 Marzo, 2019, 12:18 pm
Respuesta #7

Fernando Moreno

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Hola,

Preguntar. Como este intento de demostración, aunque no está confirmado, tampoco está falsado. ¿Podría ponerlo como Propuesta en la Revista del Foro?

Sdos,
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07 Marzo, 2019, 12:23 pm
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Preguntar. Como este intento de demostración, aunque no está confirmado, tampoco está falsado. ¿Podría ponerlo como Propuesta en la Revista del Foro?

Mejor espera a que alguien lo revise con calma. De momento está bien aquí.

Por mi parte tengo pendiente mirarlo, pero sobre enteros ciclotómicos no tengo clara la intuición lo que me obliga a tener que comprobar cada cosa paso a paso y con cuidado, a veces sin ideas previas. Eso hace más lenta la revisión.

Saludos.

07 Marzo, 2019, 12:32 pm
Respuesta #9

Fernando Moreno

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Hola Luis. Ok, muchas gracias. 
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18 Marzo, 2019, 09:08 am
Respuesta #10

Fernando Moreno

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Hola,

Se puede demostrar que en el UTF3, el factor " \( 3 \) " divide siempre a la variable " par ". Con lo cual no sería necesario el " CASO 2 " de la demostración de arriba.

Supongo en  \( \mathbb{Z[\omega]} \)  que:  \( x^3+y^3+z^3=0 \) ,  para  \( x,y,z \)  enteros de la forma  “ \( a\omega+b \) “  en los que la componente  “ \( a \) “  es cero; y que son coprimos 2 a 2. Supongo también que:  \( 3\nmid z \) ,  y esta es la única suposición particular que voy a hacer.

Sabemos que:  \( -z^3=(x+y)\,((x+y)^2-3xy) \) .  Y que:  \( (x+\omega y)\cdot(x+\omega^2 y)=x^2-xy+y^2 \) .  Luego:  \( -z^3=(x+y)\,(x+\omega y)\,(x+\omega^2 y) \) .  Como  \( 3\nmid z \) ;  entonces estos factores serán coprimos y terceras potencias.

De esta manera:  \( x+\omega y=\epsilon\,(s+\omega t)^3 \) ;  para:  \( \epsilon \) ,  una de las unidades de  \( \mathbb{Z[\omega]} \)   \( \wedge \)   \( s,t \)  enteros usuales y coprimos.

Caso 1: La unidad es:  \( \pm 1 \)

\( x+\omega y=\pm\,(s^3+3s^2\omega t+3s\omega^2 t^2+\omega^3 t^3)\,=\,\pm\,((3st(s-t))\,\omega+s^3+t^3-3st^2) \) .  Y :  \( x=\pm\,(s^3+t^3-3st^2) \)   \( \wedge \)   \( y=\pm\,(3st(s-t)) \)

Caso 2: La unidad es:  \( \pm\omega \)

\( x+\omega y=\pm\omega\,(s^3+3s^2\omega t+3s\omega^2 t^2+\omega^3 t^3)\,=\,\pm\omega\,((3st(s-t))\,\omega+s^3+t^3-3st^2) \) .  Ahora divido entre  \( \omega \) .  Luego:  \( x\omega^2+y=-x\omega+y-x\,=\,\pm\,((3st(s-t))\,\omega+s^3+t^3-3st^2) \) .  Y :  \( y-x=\pm\,(s^3+t^3-3st^2) \)   \( \wedge \)   \( -x=\pm\,(3st(s-t)) \)

Caso 3: La unidad es:  \( \pm\omega^2 \)

\( x+\omega y=\pm\omega^2\,(s^3+3s^2\omega t+3s\omega^2 t^2+\omega^3 t^3)\,=\,\pm\omega^2\,((3st(s-t))\,\omega+s^3+t^3-3st^2) \) .  Ahora divido entre  \( \omega^2 \) .  Luego:  \( x\omega+y\omega^2=(x-y)\omega-y\,=\,\pm\,((3st(s-t))\,\omega+s^3+t^3-3st^2) \) .  Y :  \( -y=\pm\,(s^3+t^3-3st^2) \)   \( \wedge \)   \( x-y=\pm\,(3st(s-t)) \)

Sólo el Caso 3 no puede darse, pues  “ \( 3 \) “  dividiría á  “ \( x-y \) “  y esto significa que no divide ni á  “ \( x \) “  ni á  “ \( y \) “ ;  lo que no puede ser.

Y observamos que tanto en el Caso 1 como en el Caso 2, la variable a la que divide  “ \( 3 \) “ ;  sea  “ \( x \) “  ó  “ \( y \) “ ,  tiene que ser par; pues tanto si  \( s,t \)  son los 2 impares, como si son uno par y otro impar, el resultado es par y  “ \( 2 \) “  dividirá á  “ \( x \) “  ó á  “ \( y \) “ .
 

Un saludo,
         

PD. Gracias a las correcciones de geómetracat Aquí, he podido darle forma a esta idea que tenía. 
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11 Noviembre, 2019, 08:32 pm
Respuesta #11

Fernando Moreno

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Hola, simplifico la demostración:


Supongo en  \( \mathbb{Z}[\omega] \) ,  para  \( \omega=\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}\,=\,e^{\frac{2\pi i}{3}} \) ,  los enteros de Eisenstein, que:  \( x^3+y^3+z^3=0 \) ;  siendo  \( x,y,z \)  enteros de  \( \mathbb{Z}[\omega] \)  y coprimos 2 a 2.

" \( 3 \) "  en  \( \mathbb{Z}[\omega] \)  es:  \( -\omega^2\lambda^2 \) ;  para  \( \lambda=\omega-1 \)   -y-   " \( \lambda \) "  \( \wedge \)  " \( 2 \) "  son primos en  \( \mathbb{Z}[\omega] \) .  Además, las unidades de  \( \mathbb{Z}[\omega] \)  son 6:  \( \pm 1 \)  ,  \( \pm\omega \)  \( \wedge \)  \( \pm\omega^2 \)  .   

Lema 1:  Si  " \( \lambda \) "  no divide a un entero de Eisenstein que es un cubo perfecto, entonces es congruente con  \( \pm 1 \)  Módulo 9 .

Lema 2:  Si  " \( 2 \) "  no divide a un entero de Eisenstein que es un cubo perfecto, entonces es congruente con  \( 1 \)  Módulo 2 .

Lema 3:  Dado:  \( x^3+y^3+z^3=0 \) ;  \( \lambda \)  solamente divide a la variable que es par.

Demostración del Lema 1:

Me basaré en cómo lo hace Carlos Ivorra aquí.

Supongamos que  \( \lambda \)  no divide a un entero de Eisenstein de la forma  \( a+\omega b \) ,  para  \( a,b \)  enteros. Módulo 3, será el resultado de reducir  \( a,b \)  módulo 3. Y tendré:  \( 1+\omega \)  ,  \( -1-\omega \)  ,  \( 1-\omega \)  ,  \( -1+\omega \)  ,  \( \pm 1 \)  ,  \( \pm\omega \)  \( \wedge \)  \( 0 \) .  Como hemos dicho que  \( \lambda \)  no divide á  \( a+\omega b \) ,  no será congruente con:  \( 1-\omega \)  ,  \( -1+\omega \)  \( \wedge \)  \( 0 \) .  Y lo que me queda ya entonces son "unidades", pues:  \( 1+\omega=-\omega^2 \)  \( \wedge \)  \( -1-\omega=\omega^2 \) .  Luego tenemos que:  \( a+\omega b\equiv\,\epsilon\,\,mod\,\,3 \) .  Pero esto es lo mismo que decir que:  \( a+\omega b-\epsilon=3\alpha \) ,  para  \( \alpha \)  un entero de Eisenstein. Por lo tanto:  \( a+\omega b=3\alpha+\epsilon \)   \( \wedge \)   \( (a+\omega b)^3=(3\alpha+\epsilon)^3\,=\,27\alpha^3+27\alpha^2\epsilon+9\alpha\epsilon^2+\epsilon^3 \) .  Por lo que:  \( (a+\omega b)^3\equiv\,\epsilon^3\,\,mod\,\,9 \)   \( \wedge \)   " \( \epsilon^3 \) "  es siempre igual á  \( \pm 1 \) , sea cuál sea la unidad de  \( \mathbb{Z}[\omega] \) .

Demostración del Lema 2:

Al igual que con el Lema 1, supongamos que  \( 2 \)  no divide a un entero de Eisenstein de la forma  \( a+\omega b \) ,  para  \( a,b \)  enteros. Módulo 2, será el resultado de reducir  \( a,b \)  módulo 2. Y tendré:  \( 1+\omega \)  ,  \( 1 \)  ,  \( \omega \)  -y-  \( 0 \) .  Como hemos dicho que  \( 2 \)  no divide á  \( a+\omega b \) ,  no será congruente con  \( 0 \) .  Y lo que me queda son "unidades", pues:  \( 1+\omega=-\omega^2 \) .  Luego tenemos que:  \( a+\omega b\equiv\,\epsilon\,\,mod\,\,2 \) .  Ó lo que es lo mismo:  \( a+\omega b-\epsilon=2\beta \) ,  para  \( \beta \)  un entero de Eisenstein. Por lo tanto:  \( a+\omega b=2\beta+\epsilon \)   \( \wedge \)   \( (a+\omega b)^3= (2\beta+\epsilon)^3\,=\,8\beta^3+12\beta^2\epsilon+6\beta\epsilon^2+\epsilon^3 \) .  Por lo que:  \( (a+\omega b)^3\equiv\,\epsilon^3\,\,mod\,\,2 \)   \( \wedge \)   \( \epsilon^3 \)  es siempre igual á  \( \pm 1 \) ;  pero ocurre que tanto  \( 1 \)  como  \( -1 \)  son congruentes con  \( 1 \)  Módulo 2.

Demostración del Lema 3:

Por el Lema 1 sabemos que si  \( \lambda \)  no divide á  \( x^3,y^3,z^3 \) ,  entonces estas variables son congruentes con  \( \pm 1 \)  módulo 9. Pero:  \( \pm 1\pm 1\pm 1\not\equiv\,0\,\,mod\,\,9 \) .  Luego por fuerza  \( 9 \)  \( \wedge \)  \( \lambda^4 \)  (pues:  \( 9=\omega\lambda^4 \))  divide a una y sólo una de ellas. De esta misma manera, por el Lema 2 sabemos que si  \( 2 \)  no divide á  \( x^3,y^3,z^3 \) ,  entonces serán congruentes con  \( 1 \)  módulo 2. Pero:  \( 1+1+1\not\equiv\,0\,\,mod\,\,2 \) .  Luego por fuerza  \( 2 \)  divide a una y sólo una de estas variables.

Supongamos, sin perder generalidad, que  \( z^3 \)  no es múltiplo de 3. Luego:  \( -z^3=x^3+y^3\,=\,(x+y)(x+\omega y)(x+\omega^2 y) \)  -y-  " \( x+\omega y \) "  será un cubo tal que:  \( \epsilon(p+\omega q)^3=x+\omega y \) ;  para  \( \epsilon \)  una unidad de  \( \mathbb{Z}[\omega] \)  y  \( p,q \)  enteros y coprimos. 

Como existen 6 unidades en  \( \mathbb{Z}[\omega] \)  que se pueden agrupar de 2 en 2, tendremos 3 casos posibles:   

Caso 1. Las unidades son:  \( \pm 1 \) .

\( \pmb{x+\omega y}=\pm\,(p+\omega q)^3\,=\,\pm\,(p^3+\omega 3p^2 q+\omega^2 3p q^2+\omega^3 q^3)\,=\,\pm\,(p^3+q^3+(3p^2q-3pq^2)\omega-3pq^2)\,=\,\pm\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega) \)   \( \Rightarrow \)   \( x=\pm\,(p^3+q^3-3pq^2) \)   \( \wedge \)   \( y=\pm\,(3pq (p-q)) \) .

Caso 2. Las unidades son:  \( \pm\omega \) .

\( \pmb{x+\omega y}=\pm\omega\,(p+\omega q)^3\,=\,\pm\omega\,(p^3+\omega 3p^2 q+\omega^2 3p q^2+\omega^3 q^3)\,=\,\pm\omega\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega) \) .  Si ahora divido a ambos lados de la igualdad entre  \( \omega \) .  Tendré:  \( x\omega^2+y=-x\omega+y-x\,=\,\pm\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega) \)   \( \Rightarrow \)   \( y-x=\pm\,(p^3+q^3-3pq^2) \)   \( \wedge \)   \( -x=\pm\,(3pq(p-q)) \) .

Caso 3: Las unidades son:  \( \pm\omega^2 \) .

\( \pmb{x+\omega y}=\pm\omega^2\,(p+\omega q)^3\,=\,\pm\omega^2\,(p^3+\omega 3p^2 q+\omega^2 3p q^2+\omega^3 q^3)\,=\,\pm\omega^2\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega) \) .  Y si ahora divido a ambos lados de la igualdad entre  \( \omega^2 \) .  Tendré:  \( x\omega+y\omega^2=(x-y)\omega-y\,=\,\pm\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega) \)   \( \Rightarrow \)   \( -y=\pm\,(p^3+q^3-3pq^2) \)   \( \wedge \)   \( x-y=\pm\,(3pq(p-q)) \) .

En el Caso 1,  " \( 3 \) "  divide á  " \( y \) "  -y-  " \( y \) "  es par puesto que  \( p \)  ó  \( q \)  debe ser par; o si son los dos impares, es par:  \( p-q \) .

En el Caso 2,  " \( 3 \) "  divide á  " \( x \) "  -y-  " \( x \) "  es par puesto que  \( p \)  ó  \( q \)  debe ser par; o si son los dos impares, es par:  \( p-q \) .

El Caso 3  no podría darse. Pues si  \( x-y \)  es múltiplo de 2 y 3, significa que no lo son ni  \( x \) ,  ni  \( y \)  -y- tampoco  \( z \) ;  puesto que no podría serlo:  \( x+y \) .



Partamos ahora de:  \( -z^3=x^3+y^3 \) . Y supongamos sin perder generalidad que la variable múltiplo de 2 es  " \( -z^3 \) " .  Entonces  " \( \lambda^4 \) "  dividirá á  \( -z^3 \) ;  pero como  \( -z^3 \)  es un cubo, deberá ser, como mínimo:  " \( \lambda^6 \) " .

Establezcamos que:  \( x+y=2s \)  \( \wedge \)  \( x-y=2t \) ;  pues  \( x\,\wedge\,y \)  son ambos congruentes con 1 Módulo 2 al serlo:  \( x^3\,\wedge\,y^3 \) .  Como  \( x+y \)  \( \wedge \)  \( x-y \)  son coprimos salvo por  " \( 2 \) " ;  entonces:  \( s=\dfrac{x+y}{2} \)  \( \wedge \)  \( t=\dfrac{x-y}{2} \)  serán coprimos; siendo además una de estas letras divisible entre 2; pues si  \( 2s\,\vee\,2t \)  es congruente con 2 Módulo 4, el otro será divisible entre 4. Si despejo  " \( x \) "  e  " \( y \) " ,  tendré que:  \( x=s+t \)  \( \wedge \)  \( y=s-t \) .  Y de esta manera:  \( -z^3=(s+t)^3+(s-t)^3 \)   \( \Rightarrow \)   \( -z^3=2s(s^2+3t^2) \) .

Como  \( \lambda^6\mid-z^3 \) .  Esto significará que:  \( \lambda^4\mid 2s \)  \( \wedge \)  \( \lambda^2\mid s^2+3t^2 \) .  Y como  \( 3=-\omega^2\lambda^2 \) ;  entonces:  \( \lambda^2\mid s^2-\omega^2\lambda^2t^2 \) .  Tenemos además que:  \( s^2=\lambda^8\cdot s’\,^2 \) .  Luego si dividimos ahora en ambos lados de la igualdad entre  \( \lambda^6 \) ;  tendremos que:   \( -z’\,^3=2s’(\lambda^6s’\,^2-\omega^2t^2) \)   .  Como  " \( 2s’ \) "   \( \wedge \)   " \( \lambda^6s’\,^2-\omega^2t^2 \) " ,  serán ahora coprimos; son terceras potencias. Y existirán unos:  \( v^3=2s’ \)  \( \wedge \)  \( u^3=\lambda^6s’\,^2-\omega^2t^2 \) .

Tenemos también que  \( 2 \)  divide á  \( z \)  y que es primo en  \( \mathbb{Z}[\omega] \) .  Entonces  \( 4 \)  divide como mínimo á  \( s \)  -y- á  " \( s’ \) "  -y-  " \( t \) "  será congruente con 1 Módulo 2. De esta forma también será congruente con 1 Módulo 2:  " \( u^3 \) " ;  que es un cubo que no es múltiplo de 2.

Así:  \( u^3=\lambda^6s’\,^2-\omega^2t^2\,=\,\left({\lambda^3s'+\omega t}\right)\,\left({\lambda^3s'-\omega t}\right) \) .  Y como:  " \( \lambda^3s'+\omega t \) "   \( \wedge \)   " \( \lambda^3s'-\omega t \) "  son coprimos; pues su suma y su diferencia son, respectivamente:  \( 2\lambda^3s’ \)  \( \wedge \)  \( 2\omega t \)   -y-   " \( 4 \) "  no es factor de  " \( u^3 \) " ;  serán a su vez terceras potencias.

Esto es, tendremos:  \( 2s'\lambda^3=\lambda^3s'+\omega t+\lambda^3s'-\omega t \) .

Y si:  \( -z’\,^3=2s'\lambda^3 \) ;  \( x'\,^3=\lambda^3s'+\omega t \)  \( \wedge \)  \( y'\,^3=\lambda^3s'-\omega t \) .  Entonces:  \( x’\,^3+y'\,^3+z'\,^3=0 \)  -y-  sólo  " \( \lambda^3 \) "  por lo menos divide ahora á  \( -z’\,^3 \) ,  cuando antes era  " \( \lambda^6 \) "  el que dividía como mínimo á  \( -z^3 \) .


Un saludo,      (Editado)
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr