Hola
Buen día,
Tengo la siguiente función definida así_
\( Z \longrightarrow{Z\times{Z^*/\sim}} \)
\( [(a,b)]\longrightarrow{-[(a,b)]=[(-a,b)]} \)
Donde \( [(a,b)] \) es una clase de equivalencia. Necesito probar que esa operación unaria o función está bien definida.
Agradezco sus colaboraciones,
sludos,
El enunciado tal como está no tiene sentido. Para que sea una operación unaria el conjunto inicial y final deben de coincidir. Tampoco se sabe que relación de equivalencia estás tomando, con lo cual no puede saberse si es compatible con la operación que se defina.
Me atrevo a imaginar un posible enunciado, pero tienes que ser tu el que verifique si es correcto.
Se considera en \( Z\times Z^* \) la relación de equivalencia:
\( (a,b)\sim (a',b') \) si y sólo si \( ab'=a'b \)
(es la que se utiliza habitualmente para construir los racionales identificando \( [(a,b)] \) con \( \dfrac{a}{b} \)).
Entonces definimos la operación en : \( Z\times Z^*/\sim \)
\( -[(a,b)]=[(-a,b)] \)
Hay que ver que está bien definida, es decir, que la imagen de una clase no depende del respresentante. Es decir hay que comprobar que:
\( (a,b)\sim (a',b')\quad \Rightarrow{}\quad (-a,b)\sim (-a',b') \)
Pero:
\( (a,b)\sim (a',b')\quad \Rightarrow{}\quad ab'=a'b\quad \Rightarrow{}\quad -ab'=-a'b\quad \Rightarrow{}\quad (-a)b'=-(a')b\quad \Rightarrow{}\quad (-a,b)\sim (-a',b') \)
Saludos.
