Autor Tema: Geom. Vectorial: división de un segmento en una razón dada

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05 Febrero, 2019, 06:23 pm
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drake_m

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Hola que tal, tengo una duda sobre geometría vectorial en la que espero me puedan ayudar.

En unos apuntes que encontré en internet sobre geometría vectorial, en la parte de división de un segmento en una razón dada, se obtiene que, si \( A \) y \( B \) son dos puntos de una recta con vectores de posición \( \overrightarrow{a} \) y \( \overrightarrow{b} \) respecto a un origen \( \overrightarrow{O} \), un punto \( P \) de vector de posición \( \overrightarrow{p} \) divide al segmento \( \overline{AB} \) en una razón \( \lambda \) si:

\( \overrightarrow{p}=\frac{\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}}{1+\lambda} \)

Hasta ahí no tengo problema, lo entiendo perfectamente. Pero después hace un resumen de los posibles valores de \( \lambda \), obteniendo:

a) Si \( \lambda>0 \) entonces el punto \( P \) está entre los puntos \( A \) y \( B \).
b) Si \( -1<\lambda<0 \) entonces el punto \( P \) está ANTES del punto \( A \).
c) Si \( \lambda<-1 \) entonces el punto \( P \) está DESPUES del punto \( B \).

Esa es mi duda, como puedo demostrar esto último?
Ojalá me puedan ayudar, gracias de antemano y saludos.
\( e^{i\pi}+1=0 \) lo quiero como tatoo :D

05 Febrero, 2019, 09:24 pm
Respuesta #1

Abdulai

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...
\( \overrightarrow{p}=\frac{\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}}{1+\lambda} \)

....

a) Si \( \lambda>0 \) entonces el punto \( P \) está entre los puntos \( A \) y \( B \).
b) Si \( -1<\lambda<0 \) entonces el punto \( P \) está ANTES del punto \( A \).
c) Si \( \lambda<-1 \) entonces el punto \( P \) está DESPUES del punto \( B \).

Esa es mi duda, como puedo demostrar esto último?

Se ve mejor escribiendo  \( \lambda = u-1 \)

\( \overrightarrow{p}=\dfrac{\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}}{1+\lambda} =  \dfrac{\overrightarrow{a}+(u-1)\overrightarrow{b}}{u} =  \overrightarrow{b} +  \dfrac{\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}}{u}  \)


05 Febrero, 2019, 09:58 pm
Respuesta #2

drake_m

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No había pensando verlo de esa forma. Me costó un poco al inicio, pero una vez que lo visualicé geométricamente, pude entender perfectamente.
Muchas gracias!!  ;D ;D
\( e^{i\pi}+1=0 \) lo quiero como tatoo :D