[medl]

Buenas amigos  tengo una pregunta y espero puedan guiarme en el camino de poder resolver este problema

La masa A de 20 kg y la masa B de 30 kg son libres de deslizarse sobre las varillas lisas como se muestra en la figura. Si los collarines están conectados por un cable de 3 m, determine la tensión en el cable y la posición de equilibrio

Adjunto la imagen.



Ya viendo la imagen  se observa que se usara   vectores unitarios y se ara sumatoria  de fuerzas en el espacio para encontrar  la tensión

\( F=F.\lambda \)   pero mi pregunta es donde hacer el análisis  porque en todos los ejercicios todas las fuerzas estaban en un solo punto y era fácil sacar sus componentes en el espacio o sus cordenadas pero en este caso hay dos collarines y los dos se mueven.

Pregunta : Será que debo hacer el análisis en  ambos collarines  y sacar sus componentes ahí ?
                Será que el peso de los collarines influye con la gravedad para sacar esa tension cuando se analice como particulas cada collarin?


Gracias de antemano

[delmar]

Hola

Observa que el cable, al permanecer inmóvil, solamente puede estar en tensión, el sistema de los dos collarines y el cable, puede ser considerado como un sitema rígido (barra rígida), a la que se le aplican cargas en sus extremos, en el extremo A, se tiene el peso del collarín A y la reacción normal de su guía \( \vec{R_A} \), en el B en forma semejante se tiene el peso B y la reacción normal de la guía del collarín \( \vec{R_B} \), por estar esta barra en equilibrio (reposo), la suma de fuerzas ha de ser cero y la suma de momentos respecto a cualquier punto, por ejemplo el punto A,  ha de ser cero. El punto A es el punto de una recta, se puede poner en función de un  parámetro, por ejemplo su abscisa \( x_A \), el B es punto de otra recta, se lo pone en función de un parámetro por ejemplo su ordenada \( y_B \), en consecuencia \( \vec{B}-\vec{A} \) es una función de dos parámetros \( x_A,y_B \). Ahora sí hay que aplicar la suma de momentos respecto a A.

\( \displaystyle\sum_{}^{}M_A=(\vec{B}-\vec{A}) \ X \ (-30\vec{j})+(\vec{B}-\vec{A}) \ X \ \vec{R_B} \), donde \( \vec{R_B}=B_x\vec{i}+B_y\vec{j}+B_z\vec{k} \)

Hasta este momento hay 3 ecuaciones.

\( \vec{R_B} \) es normal a la guía del collarín B, en consecuencia :

\( <\vec{R_B}, (-4,2,0)>=0 \) es decir el producto interno es cero.

Con esta son 4 ecuaciones

\(  \left\|{\vec{B}-\vec{A}}\right\|=3 \), la longitud del cable es 3, elevando al cuadrado se tiene la quinta ecuación y pues hay 5 variables \( B_x,B_y,B_z, x_A,y_B \), se ha de poder resolver.


Saludos

Nota :
Tengo poco tiempo, una forma de determinar \( \vec{A} \)

\( \bar{A}=(0,0,3)+t(-1,3,-3)=(-t,3t,3-3t) \)

\( x_A=-t\Rightarrow{y_A=-3x_A, \ z_A=3+3x_A}\Rightarrow{\vec{A}=(x_A,-3x_A,3+3x_A)} \),

de forma semejante se hace con \( \vec{B} \) y luego se obtiene \( \vec{B}-\vec{A} \)

[medl]

Hola
\( \sum_{}^{}M_A=(\vec{B}-\vec{A}) \ X \ (-30\vec{j})+(\vec{B}-\vec{A}) \ X \ \vec{R_B} \)

 \( \vec{B}-\vec{A} \) es una función de dos parámetros \( x_A,y_B \).

Esto no lo comprendo, primero   B-A  es un vector B - vector A,  o es un vector desde el punto A a el punto B que sería  (Bx,By,0) y el punto de A seria  (-Ax,Ay,Az) 

el -30j de donde sale ? no ubico  ese punto  no será la masa porque hay una masa 30 kg pero si es asi no seria el peso?
y va  supongo  en -j porque el peso es vertical al eje y que es el que llamas ordenada verda?

Ahora para hacer \( \displaystyle\sum F=0 \) seria  con vectores unitarios verdad   que se dirijan hacia los puntos donde se sujeta las barras que están en los ejes?

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Otra duda  Ta es positiva si tomamos desde A como origen ya que va en dirección de B, la normal dice  en un libro que la reacción que surge un collarín es a 90 grados  del riel donde se desliza  el collarín osea que  como dices que se toma como barra rígida la cuerda entonces va en dirección positiva  hacia B, WA  pensé que el peso va verticalmente paralelo al eje Y.

Es posible guiar  al WA  por la cuerda mediante un vector unitario de A-B  y multiplicando el peso y así tener esa fuerza en esa dirección
?

La sumatoria de fuerzas en A quedaria asi?

Ta + Na +Wa= 0 con los puntos que puse?

[delmar]

Esto no lo comprendo, primero   B-A  es un vector B - vector A,  o es un vector desde el punto A a el punto B que sería  (Bx,By,0) y el punto de A seria  (-Ax,Ay,Az) 

el -30j de donde sale ? no ubico  ese punto  no será la masa porque hay una masa 30 kg pero si es asi no seria el peso?
y va  supongo  en -j porque el peso es vertical al eje y que es el que llamas ordenada verda?

Ahora para hacer \( \displaystyle\sum F=0 \) seria  con vectores unitarios verdad   que se dirijan hacia los puntos donde se sujeta las barras que están en los ejes?

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\( \vec{B} \) es el vector posición del punto B, en consecuencia es \( \vec{B}=(x_B,y_B,z_B) \) es decir son sus coordenadas; pero consideradas como un vector. En forma semejante \( \vec{A}=(x_A,y_A,z_A) \) es el vector de las coordenadas de A. Por lo tanto \( \vec{B}-\vec{A}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A) \) es el vector, que va del punto A al punto B. Hago una corrección tipográfica en lugar de \( -30j \) es \( -30 \ g\ j \), es decir es el peso del collarín B. Nota que \( \vec{A} \) por pertenecer a la recta de su guía, se puede poner como función de \( x_A \) y \( \vec{B} \) de manera semejante se puede poner como función de \( y_B \), en consecuencia \( \vec{B}-\vec{A} \) es función de \( x_A, y_B \). Solamente para aclarar, la reacción normal de la guía sobre el collarín B, la estoy denominando \( \vec{R_B}=(B_x,B_y,B_z) \) trabajo con las componentes de la fuerza.

Obviamente después de encontrar las 5 variables \( x_A,y_B,B_x,B_y,B_z \) se puede aplicar que la suma de fuerzas sobre el collarín B, ha de ser cero y se obtiene la tensión que el cable ejerce sobre B es decir \( \vec{T_B}=(T_x,T_y,T_z) \) obviamente se trata de \(  \left\|{T_B}\right\| \) y su dirección ha de corresponderse con la del vector \( \vec{B}-\vec{A} \)

Saludos

[medl]

Creo que ya entendí la sumatoria de las fuerzas, solo quiero saber si voy bien  claro y gracias a tu explicación  delmar

La sumatoria de Fuerzas se puede tratar con vector unitario que es:

\( \vec{F}= F\lambda  \) donde \( \lambda = \ \displaystyle\frac{\vec{AB}}{ \left\|{AB}\right\|} \)  entonces la formula de  \( \lambda \) lo utilizo  para encontrar el vector  por ejemplo para el punto B  el vector en la dirección de la \( T_B \) , en dirección de \( W_B \) y en dirección de la normal \( N_B \)

Ahora yo deduje que para  el peso seria

\( -W_B\widehat{j}=\vec{W_B} \) esto debido a que el peso va en dirección hacia -j  y el peso es \( 30(9.81) = 294.3N \)

Luego la normal, usando el principio de transmisibilidad y según la imagen de un libro donde dice que la reacción de un collarín es a \( 90^o \) con respecto a la barra donde esta el collarín  yo creo que podría poner  la fuerza   \( N_B \) así

\( \vec{N_B}=-N_B\widehat{k} \)

Y por último la tensión  que asi como dices tu  saque un vector  dirección unitario con los puntos que me dijistes.

\( \lambda_B=\displaystyle\frac{(A_x \ -B_X)\widehat{i}+(A_Y \ B_Y)\widehat{j}+(A_Z)\widehat{k}}{\sqrt{(A_X - B_X)^2 +(A_y - B_y)^2 +(A_Z)^2}} \)  ahora mi duda esta en el punto \( (A_x - B_X) \)  no seria -\( A_X \) porque pareciera que esta en el cuadrante donde es x negativo

Hago lo mismo con el punto A  y entonces  hago  \( \displaystyle\sum \ F_x =0 \)  \( \displaystyle\sum \ F_y =0 \)  \( \displaystyle\sum \ F_z =0 \)
 
 y ahí obtendría mis tres ecuaciones que me mencionastes antes verdad  delmar?

Si es así en el punto A  para la atención  tendría que hacer ese \( \lambda \)  pero invirtiendo los puntos , no?
ahora  se que el peso siempre iría hacia -j pero la normal no sabría decir porque  no esta exacto sobre un plano  como el punto B 

Gracias por la paciencia

[delmar]

Entiendo el razonamiento; pero al llegar a este punto hay una imprecisión \( \vec{N_B}=-N_B\vec{k} \), el vector \( \vec{k} \) o el \( -\vec{k} \) son vectores unitarios perpendiculares a la guía del collarín B; pero no son los únicos, el conjunto de todos los vectores unitarios normales a la guía del collarín B, forma un círculo de radio 1, con centro en B y contenido en un plano perpendicular a la guía en B. Ojo al resolver las 5 ecuaciones que he mencionado en mensajes anteriores, ya se tiene la reacción normal \( \vec{R_B}=(B_x,B_y,B_z) \) y su vector unitario, que se obtiene al dividir al vector por su módulo, veo que denominas \( \vec{N_B} \) a lo que yo denomino \( \vec{R_B} \); pero creo que se entiende.

Saludos

[Abdulai]

Yo lo había pensado de esta forma.  Son solamente 3 incógnitas aunque algebraicamente es bastante molesto.


\( P=[-1, 3, 0]\;,\;Q=[0, 0, 3]\;,\;R=[0, 2, 0]\;,\;S=[4, 0, 0] \)   los extremos de las varillas,

\( L = 3 \)    la longitud del cable.

De acuerdo al sistema de coordenadas y al modelo de la Tierra plana donde los pesos caen hacia abajo :

\( Mg_a = [0, -20, 0] \;,\; Mg_b = [0, -30, 0] \)


Los puntos A y B están sobre el segmento PQ y RS , en forma paramétrica:
\( A=Q + (P - Q)\alpha\\
B=S + (R - S)\beta \)


En A, la tensión es colineal con el versor \( \dfrac{AB}{L} \) :
\( \;\;\longrightarrow\;\;T = \dfrac{B-A}{L}\; \tau \)    siendo  \( \tau \)  el módulo de la tensión.


Como la resultante entre el peso y la tensión del cable debe ser normal a la varilla, pues si no deslizaría.

\( (P - Q)\cdot(Mg_a + T) = 0 \)
\( (R - S)\cdot(Mg_b - T) = 0 \)

Son dos ecuaciones con tres incógnitas (\( \alpha,\beta,\tau \))

La tercera es la longitud del cable:  \( |B-A|^2=L^2 \)

Al ser no lineal, se resuelve el sistema anterior para las variables \( \alpha \)  y  \( \beta \)  y luego se reemplaza en esta última para hallar  \( \tau \)