Autor Tema: Existen restricciones a los impares en UTF ?

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03 Febrero, 2019, 01:14 pm
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Joseferm

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Hola, me explico.

En  la ecuación \( X^n + Y^n = Z^n  \) ya sabemos que Z es impar con X o Y impar. Pongamos que sea Y el impar. 

Ahora bien, me pregunto si :

1) Y puede ser primo ?

2) Z e Y han de ser impares del mismo tipo 4k+1  o 4k-1 , o puede ser cada uno de un tipo diferente ?

Aunque busco en la literatura que tengo a mi alcance algo sobre esto, no termino de encontrar nada al respecto.

Gracias anticipadas y saludos




03 Febrero, 2019, 01:43 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

En  la ecuación \( X^n + Y^n = Z^n  \) ya sabemos que Z es impar con X o Y impar. Pongamos que sea Y el impar. 

Ahora bien, me pregunto si :

1) Y puede ser primo ?

2) Z e Y han de ser impares del mismo tipo 4k+1  o 4k-1 , o puede ser cada uno de un tipo diferente ?

Aunque busco en la literatura que tengo a mi alcance algo sobre esto, no termino de encontrar nada al respecto.

Es que en la literatura lo que encontrarás directamente es que esa ecuación no tiene soluciones enteras, es decir, que el Teorema de Fermat es cierto.

En todo caso la pregunta es si hay alguna demostración sencilla que conteste con un NO a (1) y que aclare (2). En cuanto a (1), no lo se. A priori no se si es fácil descartar el caso \( Y \) primo.

En cuanto a (2) tienen que ser del mismo tipo; basta razonar con restos módulo \( 4 \).

Saludos.

03 Febrero, 2019, 02:48 pm
Respuesta #2

Joseferm

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Gracias Luis,

Las preguntas venían a cuento de que estos últimos días ( tras una serie de mensajes en otro hilo)    he estado trasteando y llegué a esas dos conclusiones, que Y,Z son del mismo tipo y que Y no puede ser primo. Pero como me equivoco más que una escopeta de feria y además no me gusta exponer deducciones que a lo peor ya están más que vistas, por eso antes de lanzarme, hice las preguntas.

Bueno, me dices que a la pregunta de si Y puede ser primo no hay respuesta, que tú sepas. Te paso esta demostración de que Y no puede ser nunca primo, con el ruego de que (como siempre) seas inflexible con ella.     

\( z^n-x^n=y^n   \)

\( (z^n-x^n) \)  es divisible por \(  (z-x)  \) ;  por lo que  \( (z^n-x^n)=k.(z-x) = y^n \)  ; por lo que \( k \) divide a \( y^n \)

Tenemos por tanto que \( y^n= k.(z-x)   \)  con lo que \( z=  \displaystyle\frac{y^n}{k}+ x \)

Si \( y \) es primo ,  \( y^n \) solo puede ser dividido por \( k \) si   \( k=y^m \) con \( m<n \) y pongamos que \( n-m=t \)

entonces \( z=\displaystyle\frac{y^n}{y^m}+x  \)  lo que equivale a  \( z = y^t +x  \) lo cual es un sinsentido.

Digo que es un sinsentido, porque si \( t=1 \) entonces queda que \( z= y +x  \)

y si \( t>1 \) entonces viola la condición de que \(  z<\sqrt[2 ]{n}. y   \)

Perdón. El LateX me confunde más que a Dinio la noches. La condición es \( z<\sqrt[n ]{2}. y \)

Esta última condición, ignoro si es conocida o no, aunque supongo que sí.  En todo caso es demostrable y si me dices que no es conocida, la publico en este foro.

Un saludo

03 Febrero, 2019, 03:56 pm
Respuesta #3

feriva

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Gracias Luis,

Las preguntas venían a cuento de que estos últimos días ( tras una serie de mensajes en otro hilo)    he estado trasteando y llegué a esas dos conclusiones, que Y,Z son del mismo tipo y que Y no puede ser primo. Pero como me equivoco más que una escopeta de feria y además no me gusta exponer deducciones que a lo peor ya están más que vistas, por eso antes de lanzarme, hice las preguntas.

Bueno, me dices que a la pregunta de si Y puede ser primo no hay respuesta, que tú sepas. Te paso esta demostración de que Y no puede ser nunca primo, con el ruego de que (como siempre) seas inflexible con ella.     

\( z^n-x^n=y^n   \)

\( (z^n-x^n) \)  es divisible por \(  (z-x)  \) ;  por lo que  \( (z^n-x^n)=k.(z-x) = y^n \)  ; por lo que \( k \) divide a \( y^n \)

Tenemos por tanto que \( y^n= k.(z-x)   \)  con lo que \( z=  \displaystyle\frac{y^n}{k}+ x \)

Si \( y \) es primo ,  \( y^n \) solo puede ser dividido por \( k \) si   \( k=y^m \)


No. "k" tiene que ser un factor de "y", pero no tiene por qué serlo necesariamente de una potencia de "y".

Saludos.

03 Febrero, 2019, 04:04 pm
Respuesta #4

Joseferm

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No. "k" tiene que ser un factor de "y", pero no tiene por qué serlo necesariamente de una potencia de "y".


Lo siento Feriva, pero no estoy de acuerdo.  Si  y es primo no tiene más factores que sí mismo, por lo que una potencia del tipo \( primo^n \) solo y exclusivamente puede ser dividida por otra potencia \( primo^m \) con \( m<n \).

Además, otra forma de verlo. Si como aceptas, \( k \) es factor de \( y \),  ¿como no va a serlo de \( y^n \) ????

Así que la demostración sigue en pie.

Saludos

03 Febrero, 2019, 04:41 pm
Respuesta #5

feriva

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Además, otra forma de verlo. Si como aceptas, \( k \) es factor de \( y \),  ¿como no va a serlo de \( y^n \) ????


Saludos

Claro, pero no tiene por qué ser igual a \( y^m \), factor de "y" sí.

Puede ser primo perfectamente, mira:

Con n=2

\( 25^{2}-24^{2}=7^{2}
  \)

\( k(25-24)=7^{2}
  \)

\( k=49 \)

Saludos.


03 Febrero, 2019, 06:47 pm
Respuesta #6

Joseferm

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Buenas tardes de nuevo Feriva:

El ejemplo que me das es correcto, lo que ocurre es que por lo visto no me he explicado bien. Paso a aclararme lo mejor que pueda.

Cuando en mi primer mensaje plantee el asunto , hablé de una terna x,y,z   (de la que se sobreentiende que x<y<z) y dije "Pongamos que sea Y el impar".

En una terna \( x, y, z  \)  , con  \( x < y < z \) , ocurre que cuando  \( y \) (el intermedio) es el impar,   nunca puede ser primo.  Eso es lo que se demuestra en mi exposición.

En el caso que me pones como ejemplo, es el menor de la terna el que es impar, y en ese caso sí puede ser primo, por la siguiente carambola : si el menor de la terna (\( x \)) es primo, siempre se da que los otros dos términos de la terna son sucesivos, con lo que \(  z-y=1 \)   siempre, y por lo tanto \( k=x^n \) .

De hecho, encuéntrame una sola terna en la que el término intermedio sea primo.  U otra terna en la que siendo primo el menor, no sean enteros consecutivos los otros dos.

Saludos, y gracias por los comentarios.


04 Febrero, 2019, 11:27 am
Respuesta #7

feriva

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Buenas tardes de nuevo Feriva:

El ejemplo que me das es correcto, lo que ocurre es que por lo visto no me he explicado bien. Paso a aclararme lo mejor que pueda.

Cuando en mi primer mensaje plantee el asunto , hablé de una terna x,y,z   (de la que se sobreentiende que x<y<z) y dije "Pongamos que sea Y el impar".


Buenos días, joseferm.

Ah, sí, perdona, me había olvidado de esa condición.

Por otra parte, claro, obvio, lo que ocurre es que si fuera \( k=1
  \) en vez de \( k=y^{m}
  \), entonces \( z-x=y^{n}
  \), pero no puede ser porque entonces \( z^{n}-x^{n}=z-x
  \). (lo miré muy por encima y ni me fijé).

Saludos.

04 Febrero, 2019, 12:47 pm
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

En una terna \( x, y, z  \)  , con  \( x < y < z \) , ocurre que cuando  \( y \) (el intermedio) es el impar,   nunca puede ser primo.  Eso es lo que se demuestra en mi exposición.

Si, eso es cierto y tu prueba es correcta.

Citar
Perdón. El LateX me confunde más que a Dinio la noches. La condición es \( z<\sqrt[n]{2}y \).

Si, esa es clara. Si \( x<y<z \) y \( z^n=x^n+y^n \) entonces \( z^n<y^n+y^n=2y^n \) y sacando la raíz enésima se tiene la condición.

Saludos.