[Sophia]

Estoy algo confundida con este par de ejercicios y agradecería su ayuda.
1. Hallar los valores extremos del campo escalar \( f(x,y,z)=x-2y+2z \) en la esfera \( x^2+y^2+z^2=1 \)
2. Hallar los puntos de la superficie \( 2z-xy=1 \) mas próximos al origen

Estoy super confundida

Título cambiado desde la administración.

[manooooh]

Hola Sophia, bienvenida al foro!!

Recordá leer y seguir las reglas del mismo así como el tutorial del \( \mathrm\LaTeX \) para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

En particular, es recomendable que los ejercicios estén cada uno en un hilo nuevo, a fin de mantener ordenado el foro.

Por otro lado, los títulos deben ser descriptivos. Considerá que uno elige qué preguntas leer de acuerdo a su título, así que un mensaje titulado "Ayuda con esto..."... Por favor, tené en cuenta estas consideraciones para la próxima.


Con respecto a los ejercicios, yo también estoy un poco confundido , pero vamos a intentar (necesita revisión).

1. Hallar los valores extremos del campo escalar \( f(x,y,z)=x-2y+2z \) en la esfera \( x^2+y^2+z^2=1 \)

El gradiente de la función objetivo es \( \vec\nabla f(x,y,z)=(1,-2,2) \), y para clasificar los extremos en la esfera primero debemos estudiar la existencia de puntos críticos.

Los puntos críticos se obtienen igualando el gradiente al vector nulo: \( \vec\nabla f(x,y,z)=(0,0,0) \), lo que equivale a \( (1,-2,2)=(0,0,0) \), lo cual es un absurdo. Por tanto, la función \( f \) NO produce extremos en la esfera \( x^2+y^2+z^2=1 \).

2. Hallar los puntos de la superficie \( 2z-xy=1 \) más próximos al origen

La distancia de un punto del espacio al origen se toma considerando un punto genérico \( (x,y,z) \) y el origen \( (0,0,0) \) mediante la siguiente función:

\( d:A\subseteq\Bbb R^3\to\Bbb R\mid d(x,y,z)=\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \)

así que debemos estudiar qué puntos hacen mínima a \( d \).

Estudiemos puntos críticos:

\( \vec\nabla d(x,y,z)=(0,0,0)\implies\begin{cases}\frac x{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=0\\\frac y{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=0\\\frac z{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=0\end{cases}, \)

el cual NO tiene soluciones, por lo que NO existe una distancia mínima .

Creo que no está bien. Esperá la ayuda de alguien más.

Saludos

Mods

Propongo que el subforo correspondiente a este hilo sea Cálculo varias variables.

Título cambiado de "Ayuda con esto..." a "Estudiar extremos condicionados sobre una esfera y paraboloide".

[cerrar]

[Fernando Revilla]

1. Hallar los valores extremos del campo escalar f(x,y,z)=x-2y+2z en la esfera x^2+y^2+z^2=1

Aquí tienes la teoría correspondiente. Considera la función \( F(x,y,z)=x-2y+2z+\lambda (x^2+y^2+z^2-1) \). El sistema \( F_x=0,F_y=0,F_z=0 \), \( x^2+y^2+z^2=1 \) te dará las soluciones \( P(-1/3,2/3,-2/3) \) para \( \lambda=3/2 \) y \( Q(1/3,-2/3,2/3) \) para \( \lambda=-3/2 \). Hallando la matriz hessiana descubrirás inmediatamente que en \( P \) existe mínimo relativo condicionado para \( f \) y en \( Q \), máximo.

P.D. Por favor, un problema por hilo. Abre otro para el segundo problema.