[feriva]

Fernando Moreno me insta a que me atreva a demostrar lo que se ve en las últimas respuestas de este hilo; más o menos a partir de ésta:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=81450.msg425348#msg425348

EDITADO

Se tiene que \( \alpha^3 - c^3 \) es divisible entre tres; después se deduce que, en ese caso, \( 3|(\alpha-c)^{2}
  \)  Y se trata de probar que dado eso también \( 3|(\alpha-c) ([color=blue]pero esto no es cierto siempre, así que nada de lo que sigue vale[/color])
  \); donde alpha es un número ciclotómico; y poco sé de todo lo que pasa ahí.

Pero por recoger el guante, intento algo un poco a ciegas.

Tenemos \( 3|(\alpha-c)\,\vee\:3|(c-\alpha+1)\,\vee\,3|(c-\alpha+2)
  \).

Ahora podremos escribir

\( 3|(c-\alpha+1)(c-\alpha-3)\,\vee\,3|(c-\alpha+2)(c-\alpha-3)
  \) (disyunción no exclusiva).

Dearrollando las expresiones

1ª \( (c-\alpha+1)(c-\alpha-3)=\alpha^{2}+2\alpha+c^{2}-2\alpha c-2c-3=
  \)

\( {\color{blue}(\alpha-c)^{2}}+2{\color{magenta}(\alpha-c)}-{\color{blue}3}
  \)

2ª \( (c-\alpha+2)(c-\alpha-3)=\alpha^{2}+\alpha+c^{2}-2\alpha c-c-6=
  \)

\( {\color{blue}(\alpha-c)^{2}}+{\color{magenta}(\alpha-c)}-{\color{blue}6}
  \)

Una de ellas o las dos tenía que ser divisible entre tres; y resulta que si lo es una, lo es la otra y que entonces, finalmente, \( 3|(\alpha-c)
  \)

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Pueda ser util (Aunque es tarde y no funciona bien el cerebelo) que si \(  p \) es primo y \( p|ab  \) entonces \( p|a \) o \( p|b \).
Espero que ayude.

[Carlos Ivorra]

Se tiene que \( 3|(\alpha-c)^{2}
  \) y se trata de probar que en ese caso también \( 3|(\alpha-c)
  \); donde alpha es un número ciclotómico; y poco sé de todo lo que pasa ahí.

Pero eso no es cierto. Toma \( \alpha = \omega \), \( c= 1 \). Entonces \( 3\mid (\omega-1)^2 = \pi^2 \), pero no es cierto que \( 3\mid \pi \). Lo que pasa es que \( 3 \) no es primo en el anillo de enteros ciclotómicos, y lo que quieres probar lo cumplen los primos (como en los enteros usuales).

[feriva]

Se tiene que \( 3|(\alpha-c)^{2}
  \) y se trata de probar que en ese caso también \( 3|(\alpha-c)
  \); donde alpha es un número ciclotómico; y poco sé de todo lo que pasa ahí.

Pero eso no es cierto. Toma \( \alpha = \omega \), \( c= 1 \). Entonces \( 3\mid (\omega-1)^2 = \pi^2 \), pero no es cierto que \( 3\mid \pi \). Lo que pasa es que \( 3 \) no es primo en el anillo de enteros ciclotómicos, y lo que quieres probar lo cumplen los primos (como en los enteros usuales).

Ahh, gracias Carlos, en el otro hilo debí de leer algo mal.

Ya lo he visto; es que se me ha olvidado la condición previa, 3 divide a  \( \alpha^3 - c^3 \)

Saludos.

[feriva]

Pueda ser util (Aunque es tarde y no funciona bien el cerebelo) que si \(  p \) es primo y \( p|ab  \) entonces \( p|a \) o \( p|b \).
Espero que ayude.

Gracias, Juan Pablo; es que el 3 no es primo ciclotómico y por eso daba tanta vuelta.

Saludos.