Hola
Factorizar el polinomio \( (x^4+1).(x^6+3x^4-3x^2-9) \)en reales y complejos
Por favor indicanos qué es lo que intentaste así podemos ayudarte mejor.
¿Sabés lo que significa factorizar un polinomio? ¿Sabés hallar las raíces o los ceros de una función? ¿Qué valores de \( x \) satisfacen \( x^2+1=0 \)?
Una forma.
En primer lugar vamos a usar las identidades \[x^4+2(a-b)x^2+a^2\equiv(x^2+a^2)^2-2bx^2\equiv(x^2+\sqrt{2b}x+a)(x^2-\sqrt{2b}x+a)\tag1\] (comprobá que cada una se puede obtener de otra).
Factorizar \( (x^4+1)(x^6+3x^4-3x^2-9) \) es equivalente a resolver la ecuación \( (x^4+1)(x^6+3x^4-3x^2-9)=0 \).
Por un lado, tenemos que \( x^4+1=0 \), en donde utilizando \( (1) \), vemos que \( 2(a-b)=0 \) (o sea \( a=b \)), y \( a=1 \). Aplicá la fórmula cuadrática para tener los 4 valores (2 por cada ecuación).
Por último, tenemos que resolver \( x^6+3x^4-3x^2-9=0 \). Agrupando términos, \( (x^6+3x^4)+(-3x^2-9)=0 \), del cual \( x^4(x^2+3)-3(x^2+3)=0 \), o sea \( (x^4-3)(x^2+3)=0 \). El segundo producto es fácil: \( x^2=-3 \), \( x=\pm\sqrt{-3}=\pm3i \). Para el segundo, debemos utilizar \( (1) \), donde de vuelta \( 2(a-b)=0 \) sólo si \( a=b \), y \( a=-3 \). Aplicá de vuelta la fórmula resolvente para obtener 4 valores (2 por cada ecuación).
Finalmente, tenemos \( 4+2+4=10 \) raíces, lo que concuerda con el grado del polinomio (grado \( 10 \)).
Desde ya que el trabajo es más que laborioso, porque para que los valores queden "bonitos" hay que hacer un trabajo algebraico tedioso. Te la propongo por si no querés utilizar la
fórmula de Euler.
Saludos
Mods
Título cambiado de "factorización polinomio" a "Factorizar [texx](x^4+1)(x^6+3x^4-3x^2-9)[/texx]".
