La idea es que los cuaterniones con la suma y el producto por reales forman un espacio vectorial de dimensión 4. Si tomas como base de este espacio vectorial \( \{1,i,j,k\} \), tienes una identificación de los cuaterniones con \( \mathbb{R}^4 \) asignando a cada cuaternión \( t + xi + yj + zk \) el vector \( (t,x,y,z) \).
Entonces, si fijas un cuaternión \( q \in \mathbb{H} \) la aplicación \( q' \mapsto qq' \) que asocia a cada cuaternión \( q' \) su producto con \( q \) es una aplicación lineal, luego tiene una matriz asociada (en la base \( \{1,i,j,k \} \)). Esta es la matriz que llamas "matriz asociada a \( q = t + xi + yj + zk \)".
En definitiva, esta matriz es la matriz que cumple que cuando la multiplicas por un vector columna \( (t',x',y',z') \) te da el vector que corresponde al cuaternión producto \( (t+xi+yj+zk)(t'+x'i+y'j+z'k) \). Fíjate que la primera columna corresponde a \( (t+xi+yj+zk)1 = t+xi+yj+zk \), la segunda a \( (t+xi+yj+zk)i = -x +ti +zj -yk \) y análogamente con las dos últimas.
Esto no tiene mucho que ver con rotaciones. El tema de las rotaciones es que los cuaterniones de norma 1 se pueden identificar con rotaciones en \( \mathbb{R}^3 \) (y no en \( \mathbb{R}^4 \), como las matrices por las que preguntas) y bajo esta identificación el producto de cuaterniones corresponde la composición de rotaciones. De todas formas esta correspondencia es 2 a 1, en el sentido de que cada rotación de \( \mathbb{R}^3 \) viene representada por dos cuaterniones de norma unidad distintos. El enunciado matemáticamente preciso es que el grupo de los cuaterniones de norma unidad es isomorfo a \( SU(2) \), que es el recubridor doble de \( SO(3) \), el grupo de rotaciones de \( \mathbb{R}^3 \),
Cualquier duda que te quede pregunta de nuevo.
