Autor Tema: En UTF, qué hace al exponente n=2 tan especial, en vuestra opinión ?

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25 Enero, 2019, 10:22 pm
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Joseferm

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Me explico.  Si para n=1  y n=2  existen ternas que cumplen  y para n=3 y siguientes ya no, es porque :

a) Existe una ley general subyacente, que se cumple en n=1 , se cumple en n=2 y se cumple también para \(  n \geq{3}  \), aunque con el resultado de que no existen ternas ?

b) Existe una ley general aplicable solo desde n=3, quedando n=2 como excepción ajena a dicha ley. ?


Dicho de otro modo, una demostración del UTF debería ser aplicable a cualquier exponente, incluido el n=2 (dando como resultado que sí son posibles las ternas) , o por el contrario pensais que debería ser una demostración inaplicable a n=2 ?


Al margen de esto, alguien con más conocimientos podría indicarme como demostrar que \(   3k^2 +3k +1  \) no puede ser nunca un cubo ?

Un saludo a todos.


  

25 Enero, 2019, 10:57 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Te faltó poner el código entre las etiquetas  [tex] [/tex]  para que se vea bien.
Para lo último que pides:
\( (k+1)^3  = k^3 + 3 \cdot k^2 + 3 \cdot k + 1  \)

26 Enero, 2019, 12:06 am
Respuesta #2

feriva

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Dicho de otro modo, una demostración del UTF debería ser aplicable a cualquier exponente, incluido el n=2 (dando como resultado que sí son posibles las ternas) , o por el contrario pensais que debería ser una demostración inaplicable a n=2 ?


Un saludo a todos.
   

Hola, Joseferm.

Existe la demostración de que la igualdad se cumple para n=2, se trata de una demostración directa:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=107059.0

Pero no se le puede dar el nombre UTF, porque el UTF pone como condición n>2 en el propio enunciado y además sí cumple la igualdad; es otra cosa.

Saludos.


26 Enero, 2019, 02:44 pm
Respuesta #3

Joseferm

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Gracias, Juan Pablo y Feriva por vuestras rápidas respuestas.

Juan Pablo, lo que me indicas ya lo había pensado ya que como bien dices la expresión \(  3k^2 +3k+1 \) no es sino \(  (k+1)^3 - k^3  \) con lo cual si por diabólica casualidad \(  3k^2 +3k+1 \) fuera un cubo, sería un cubo diferencia de dos cubos consecutivos, lo que a todas luces resulta inverosimil.  Sería no solamente ir contra UTF sino adem´ñas añadir la condición de que dos miembros de la terna fueran consecutivos.

Pero yo no soy matemático, sino ingeniero y no dispongo de ningún arsenal abundante en este campo, y más de una vez me he quedado a cuadros leyendo textos de teoría de números y viendo cómo expresiones que a primera vista no podían tomar determinados valores, por arte de manipulación inteligentísima terminan dando valores numéricos que uno jamás se esperaría.

En resumen, si yo en una determinada demostración necesito afirmar que \(  3k^2 +3k+1 \) no puede ser un cubo, según tu criterio sería suficiente con argumentar que no puede ser porque le faltaría el término \( k^3 \) para completar un cubo .  ¿Es así?

Y por extensión, si por ejemplo tengo  que demostrar que   \(  4k^3+6k^2+4k+1  \) no puede ser una cuarta potencia , entiendo que podría usar el mismo razonamiento y afirmar que no puede ser cuarta potencia porque le falta el término  \( k^4 \) para ser   \(  (k+1)^4 \) .  Sería igual de correcto y nadie podría decir (matemáticamente hablando) nada en contra ?

Gracias anticipadas.

26 Enero, 2019, 03:54 pm
Respuesta #4

Juan Pablo Sancho

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Yo lo razoné  como que a \( 3 \cdot k^2 + 3 \cdot k + 1 \) siempre le falta \( k^3 \) para ser un cubo.
Luego lo miro con más calma.

26 Enero, 2019, 08:20 pm
Respuesta #5

Joseferm

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Se me ocurre, así a bote pronto que puesto que el polinomio  \(  f(k) = 3.k^2 + 3.k + 1 \)  solo tiene dos raices ( que por cierto son imaginarias conjugadas), no  podrá factorizarse como un cubo y en consecuencia nunca, para ningún valor de k podrá ser un cubo.

Pero claro, luego me surge una duda con este razonamiento.  Un polinomio tan simple como  \( f(k) = 2.k + 1  \) que solo tiene  tiene una raiz,  al que le falta el término en \( k^2  \),   y que no es factorizable como cuadrado,   sin embargo arroja cuadrados ( 9 , 25, 49, etc..).


Conste que al \(  f(k) = 3.k^2 + 3.k + 1 \) lo tengo chequeado numéricamente hasta  \( 10^{20} \) y no hay rastro de cubos.

26 Enero, 2019, 09:39 pm
Respuesta #6

Juan Pablo Sancho

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Tenemos que :
\(  (k+1)^3 = k^3 + (3 \cdot k^2 + 3 \cdot k + 1)  \)
Tienes que \( f(k) = (3 \cdot k^2 + 3 \cdot k + 1 )  \) entonces:
\(  (k+1)^3 = k^3 + f(k)  \).

Veamos por inducción que \( f(k)  \) no es un cubo.

Para \(  k=1 \) tenemos que \( f(1) = 7  \) no es un cubo.
Supongamos que para \( k\geq 1 \) tenemos que \(  f(k)  \) no es un cubo entonces:
\(  f(k+1) = 3 \cdot (k+1)^2 + 3 \cdot (k+1) + 1 = 3 \cdot k^2 + 6 \cdot k  + 3 \cdot k +3 + 1 = \)
\(  = (3 \cdot k^2 + 3 \cdot k + 1) + (6 \cdot k + 6)  \)

Sólo queda ver que \(  k^3 \neq 6 \cdot (k+1)  \)
Si \(  k=1 \) tenemos \(  1^3 \neq 6 \cdot 2  \)
Si \(  k=2 \) tenemos \(   2^3 \neq 6 \cdot 3  \)
Si \(  k=3 \) tenemos \(  3^3 \neq 6 \cdot 4  \)
Si \(  k \geq 4  \) tenemos \(  k^4 \geq 4 \cdot k^3 = 2 \cdot k^3 + 2 \cdot k^3 > 8 \cdot k^2 + 8 \cdot k^2 > 6 \cdot k +6  \)
Editado

Para los casos \(  k \in \{1,2,3\}  \) se debería ver que no es un cubo:
\( k=1 \) tenemos \(  3+3+1 = 7  \) no es un cubo.
\( k=2 \) tenemos \(   12+6+1 = 19  \) no  es un cubo.
\( k=3 \) tenemos \(  27 + 9 +1 = 37  \) no  es un cubo.

Editado 2
\(  k^3 < k^3 +3 \cdot k^2 + 3 \cdot k + 1 = (k+1)^3  \)

26 Enero, 2019, 10:41 pm
Respuesta #7

Joseferm

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Muchas gracias por tu ayuda Juan Pablo.  A mi no se me hubiera ocurrido recurrir a la inducción.

Este era uno de los últimos pasos que me quedaban por resolver en una demostración que estoy intentando desarrollar y que me gustaría publicar en este foro de aquí a algunos días. Por lo tanto, tengo que preguntarte si te importaría que hiciera uso de tu aportación, como parte de la demostración.

Un saludo.   

26 Enero, 2019, 11:07 pm
Respuesta #8

feriva

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Se me ocurre, así a bote pronto que puesto que el polinomio  \(  f(k) = 3.k^2 + 3.k + 1 \)  solo tiene dos raices ( que por cierto son imaginarias conjugadas), no  podrá factorizarse como un cubo y en consecuencia nunca, para ningún valor de k podrá ser un cubo.

Hola. Lo que dices no es cierto para cualquier número (real) es cierto para enteros (siempre que k no sea cero, porque 1 sí es un cubo).

Si, por ejemplo, \( k=\pi
  \)

\(  3\pi^{2}+3\pi+1=(3,4209...)^{3}
  \).

Las raíces no tienen nada que ver porque lo que hay al otro lado del singo igual, si lo despejas y lo sumas al 1, hace de término independiente de la ecuación y será distinto de 1. Así que todo depende del valor que le des a k.

Saludos.

27 Enero, 2019, 09:33 am
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

 Juan Pablo Sancho, no acabo de entender tu demostración.
Tenemos que :
\(  (k+1)^3 = k^3 + (3 \cdot k^2 + 3 \cdot k + 1)  \)
Tienes que \( f(k) = (3 \cdot k^2 + 3 \cdot k + 1 )  \) entonces:
\(  (k+1)^3 = k^3 + f(k)  \).

Veamos por inducción que \( f(k)  \) no es un cubo.

Para \(  k=1 \) tenemos que \( f(1) = 7  \) no es un cubo.
Supongamos que para \( k\geq 1 \) tenemos que \(  f(k)  \) no es un cubo entonces:
\(  f(k+1) = 3 \cdot (k+1)^2 + 3 \cdot (k+1) + 1 = 3 \cdot k^2 + 6 \cdot k  + 3 \cdot k +3 + 1 = \)
\(  = (3 \cdot k^2 + 3 \cdot k + 1) + (6 \cdot k + 6)  \)

Sólo queda ver que \(  k^3 \neq 6 \cdot (k+1)  \)

¿Por qué "sólo" queda ver eso? Aparentemente así solo pruebas que \( f(k+1)\neq (k+1)^3 \), pero ¿por qué no podría ser el cubo de otro número?. Tampoco veo en que influye el argumento inductivo. ¿Qué papel juega que \( f(k) \) no se aun cubo?.

Probar que \( (k+1)^3-k^3 \) no es un cubo es un caso particular del UTF. Puede que halla una prueba sencilla para ese caso particular, pero a falta de más aclaraciones ninguna de las justificaciones que se han pretendido dar en este hilo es válida.

Saludos.

27 Enero, 2019, 03:32 pm
Respuesta #10

Juan Pablo Sancho

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Hola

 Juan Pablo Sancho, no acabo de entender tu demostración.

.

Yo tampoco  :D :D que tomate tenía en la cabeza,está mal por todas partes.

27 Enero, 2019, 08:15 pm
Respuesta #11

Joseferm

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Hola. Lo que dices no es cierto para cualquier número (real) es cierto para enteros (siempre que k no sea cero, porque 1 sí es un cubo).


Gracias Feriva. Me estaba refiriendo a enteros. Me expresé mal.

27 Enero, 2019, 11:23 pm
Respuesta #12

GaToMi

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Aquí un intento de solución usando el Último teorema de Fermat

Spoiler
Supongamos que \( 3k^2+3k+1 \) es un cubo, es decir,  \( 3k^2+3k+1=a^3 \) para algún \( a\in{Z} \). Como \( 3k^2+3k+1=(k+1)^3-k^3 \), tenemos que

\( (k+1)^3-k^3=a^3 \)
\( (k+1)^3=a^3+k^3 \),

pero sabemos, por el Último teorema de Fermat, que la ecuación \( x^n+y^n=z^n \) no tiene solución para \( n\geq{3} \). Contradicción. Por lo tanto, la expresión  \( 3k^2+3k+1 \) no es un cubo.
[cerrar]

¿Sería algo como así?

En todo caso me parece utilizar una herramienta demasiado poderosa para un ejercicio así. Creo que se podría demostrar utilizando que, si fuera cierto,
Spoiler
\( k^3<3k^2+3k+1<(k+1)^3 \)
[cerrar]

Pero no sé como demostrarlo jajaja (si fuera cierto, repito)

27 Enero, 2019, 11:44 pm
Respuesta #13

manooooh

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Hola

\( k^3<3k^2+3k+1<(k+1)^3 \)

Pero no sé cómo demostrarlo jajaja (si fuera cierto, repito)

La desigualdad \( k^3<(k+1)^3 \) es cierta, ya que \( k<k+1 \) implica \( 0<1 \), lo cual es cierto. Pero la desigualdad \( 3k^2+3k+1<(k+1)^3 \) sólo es cierta para \( k>0 \), ya que si expandimos \( (k+1)^3 \), tenemos \( k^3+3k^2+3k+1 \), de donde los últimos tres términos se cancelan y queda \( 0<k^3 \), o sea \( k>0 \).

La desigualdad \( k^3<3k^2+3k+1 \) (que es cierta para todo \( k \)), no sé probarla. Esperá la ayuda de alguien más.

Saludos

EDIT. La proposición "\( k^3<3k^2+3k+1 \) es cierta para todo \( k \)" es falsa, como mostró Juan Pablo Sancho

28 Enero, 2019, 12:41 am
Respuesta #14

Juan Pablo Sancho

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Esta desigualdad \(  k^3 < 3 \cdot k^2 + 3 \cdot k + 1  \) seguro que falla, por un lado tienes un polinomio cúbico y por otro cuadrático,habrá un momento que siempre sucederá:
\( k^3 > 3 \cdot k^2 + 3 \cdot k +1  \)
Se puede verificar usando derivadas mismo.
Otro camino: Para \(  k \geq 4  \) tenemos:
\(  k^3 = k \cdot k^2 \geq 4 \cdot k^2 = 3 \cdot k^2 + k^2 \geq 3 \cdot k^2 + 4 \cdot k = 3 \cdot k^2 + 3 \cdot k + k \geq 3 \cdot k^2 + 3 \cdot k + 1  \)
Editado


Spoiler
Supongamos que \( 3k^2+3k+1 \) es un cubo, es decir,  \( 3k^2+3k+1=a^3 \) para algún \( a\in{Z} \). Como \( 3k^2+3k+1=(k+1)^3-k^3 \), tenemos que

\( (k+1)^3-k^3=a^3 \)
\( (k+1)^3=a^3+k^3 \),

pero sabemos, por el Último teorema de Fermat, que la ecuación \( x^n+y^n=z^n \) no tiene solución para \( n\geq{3} \). Contradicción. Por lo tanto, la expresión  \( 3k^2+3k+1 \) no es un cubo.
[cerrar]

¿Sería algo como así?


Pues la verdad si, buena mirada.

28 Enero, 2019, 12:54 am
Respuesta #15

GaToMi

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Cierto, esa desigualdad es falsa, basta con comprobar con \( k=4 \), gracias por la corrección  ;D

28 Enero, 2019, 03:58 am
Respuesta #16

Joseferm

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Aquí un intento de solución usando el Último teorema de Fermat

Spoiler
Supongamos que \( 3k^2+3k+1 \) es un cubo, es decir,  \( 3k^2+3k+1=a^3 \) para algún \( a\in{Z} \). Como \( 3k^2+3k+1=(k+1)^3-k^3 \), tenemos que

\( (k+1)^3-k^3=a^3 \)
\( (k+1)^3=a^3+k^3 \),

pero sabemos, por el Último teorema de Fermat, que la ecuación \( x^n+y^n=z^n \) no tiene solución para \( n\geq{3} \). Contradicción. Por lo tanto, la expresión  \( 3k^2+3k+1 \) no es un cubo.
[cerrar]

¿Sería algo como así?

No porque la demostración que se está buscando forma parte de a demostración más general del UTf, y no podemos hacer intervenir al UTF ya demostrado como parte misma de la demostración que se pretende. saludos

28 Enero, 2019, 12:31 pm
Respuesta #17

Luis Fuentes

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Hola

Se me ocurre, así a bote pronto que puesto que el polinomio  \(  f(k) = 3.k^2 + 3.k + 1 \)  solo tiene dos raices ( que por cierto son imaginarias conjugadas), no  podrá factorizarse como un cubo y en consecuencia nunca, para ningún valor de k podrá ser un cubo.

Que sólo tenga dos raíces imaginarias conjugadas no tiene nada que ver a priori con que pueda ser o no cubo de un entero. Por ejemplo \( f(k)=3k^2+3k+4 \) tiene igualmente dos raíces imaginarias conjugadas y \( f(4)=4^3 \)

Citar
Conste que al \(  f(k) = 3.k^2 + 3.k + 1 \) lo tengo chequeado numéricamente hasta  \( 10^{20} \) y no hay rastro de cubos.

Que no puede ser un cubo está claro; como te he dicho es un caso particular del Teorema de Fermat; lo ha detallado después GaToMi y tu pareces estar de acuerdo (aunque te gustaría una prueba que no usase el Teorema de Fermat):

Probar que \( (k+1)^3-k^3 \) no es un cubo es un caso particular del UTF. Puede que halla una prueba sencilla para ese caso particular, pero a falta de más aclaraciones ninguna de las justificaciones que se han pretendido dar en este hilo es válida.

Aquí un intento de solución usando el Último teorema de Fermat

Spoiler
Supongamos que \( 3k^2+3k+1 \) es un cubo, es decir,  \( 3k^2+3k+1=a^3 \) para algún \( a\in{Z} \). Como \( 3k^2+3k+1=(k+1)^3-k^3 \), tenemos que

\( (k+1)^3-k^3=a^3 \)
\( (k+1)^3=a^3+k^3 \),

pero sabemos, por el Último teorema de Fermat, que la ecuación \( x^n+y^n=z^n \) no tiene solución para \( n\geq{3} \). Contradicción. Por lo tanto, la expresión  \( 3k^2+3k+1 \) no es un cubo.
[cerrar]

No porque la demostración que se está buscando forma parte de a demostración más general del UTf, y no podemos hacer intervenir al UTF ya demostrado como parte misma de la demostración que se pretende. saludos

Saludos.

28 Enero, 2019, 01:13 pm
Respuesta #18

feriva

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Aquí un intento de solución usando el Último teorema de Fermat

Spoiler
Supongamos que \( 3k^2+3k+1 \) es un cubo, es decir,  \( 3k^2+3k+1=a^3 \) para algún \( a\in{Z} \). Como \( 3k^2+3k+1=(k+1)^3-k^3 \), tenemos que

\( (k+1)^3-k^3=a^3 \)
\( (k+1)^3=a^3+k^3 \),

pero sabemos, por el Último teorema de Fermat, que la ecuación \( x^n+y^n=z^n \) no tiene solución para \( n\geq{3} \). Contradicción. Por lo tanto, la expresión  \( 3k^2+3k+1 \) no es un cubo.
[cerrar]

¿Sería algo como así?

No porque la demostración que se está buscando forma parte de a demostración más general del UTf, y no podemos hacer intervenir al UTF ya demostrado como parte misma de la demostración que se pretende. saludos

¿Te serviría para lo que quieres la demostración del caso particular para la potencia n=3?

Existe y puedes contar con ella; no implica la demostración del caso general.

Aparte de eso... yo lo he intentado por mi cuenta pero no puedo demostrarlo.

Puedo afirmar alguna cosa; por ejemplo, si no me equivoco, puedo afirmar esto:

\( 3k^{2}+3k+1=a^{3}
  \)

\( 3k^{2}+3k=a^{3}-1^{3}
  \)

por otro lado

\( (a-1)^{3}=a^{3}-3a^{2}+3a-1^{3}
  \)

entonces

\( 3k^{2}+3k=(a-1)^{3}+3a(a-1)
  \) (de donde se deduce que “a-1” es múltiplo de 3).


Como “a-1” es múltiplo de 3, cada miembro es al menos divisible entre 9, por lo que “k” ha de ser múltiplo de 3 (perdón, o k o bien k+1 múltiplo de 3)

Pero por sí solo esto no sirve para mucho.

Saludos.

28 Enero, 2019, 07:08 pm
Respuesta #19

Joseferm

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¿Te serviría para lo que quieres la demostración del caso particular para la potencia n=3?

Existe y puedes contar con ella; no implica la demostración del caso general.

 


Gracias Feriva. Lo que me serviría no es la demostración del UTF en el caso n=3 (que esa ya sé que existe, y la conozco) ,  sino la demostración concreta de que \(  3k^2+3k+1  \) no puede ser un cubo. Y ya sé que esto equivale a demostrar un caso especial del  UTF para n=3, en el que dos términos de la terna son consecutivos, ya que \(  (k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k +1  \).



Que sólo tenga dos raíces imaginarias conjugadas no tiene nada que ver a priori con que pueda ser o no cubo de un entero. Por ejemplo \( f(k)=3k^2+3k+4 \) tiene igualmente dos raíces imaginarias conjugadas y \( f(4)=4^3 \)


Gracias Luis. Mira, eso si me ha servido porque estaba obcecado con ello.

Que no puede ser un cubo está claro; como te he dicho es un caso particular del Teorema de Fermat; lo ha detallado después GaToMi y tu pareces estar de acuerdo (aunque te gustaría una prueba que no usase el Teorema de Fermat)

Efectivamente, necesito que no use el Teorema.


Enfín. Intentaré tratar la expresión como si fuera una ecuación diofántica tal como \(  y^3 = 3.x^2 + 3.x +1  \) e intentaré demostrar la no existencia de soluciones por reducción al absurdo, por reducción de la ecuación a algún módulo m , o como pueda.  Como seguramente me atascaré, volveré sin duda a pedir vuestra ayuda.

Saludos a todos.