[Jambo]

Hola, necesito ayuda con el siguiente ejercicio:

Sea \( G=\mathbb{Z_{157}^*} \), sabemos que \( O(2)=52 \) y que \( 2^{46}\equiv{27} \mod 157 \). Me piden hallar \( O(3) \).

He leído las soluciones del ejercicio y primero obtiene \( O(3^3) \) usando los datos anteriores, y llega a que \( O(3^3)=26 \), a partir de esto, llega a que \( O(3)=26mcd(O(3),3) \) y aquí es donde me he perdido: estudia el caso en donde \( mcd(O(3),3)=1 \), es decir, \( O(3)=26 \), luego calcula \( 3^{26}\equiv{144}\mod 157 \) y como es distinto de 1, concluye que \( O(3)\neq{26} \) y entonces \( O(3)=78 \). Así la solución me da a entender que los únicos valores posibles para \( mcd(O(3),3) \) son 1 y 3 ¿Por qué? 

Luego en otro punto me piden que halle una raíz primitiva módulo 157 (la solución es 95, pero no entiendo como llegar a ella ) ¿Que proposición puedo aplicar?

Y luego, tambien me piden que diga cuantos homomorfismos \( f:\mathbb{Z_{314}^*}\rightarrow{\mathbb{Z_{15}}} \) hay. No sé como relacionarlo con las partes anteriores (más allá de que \( 314=2\cdot{157} \)...) ¿Alguna propiedad de los homomorfismos que me estoy olvidando?

Agradezco su ayuda de antemano 

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, necesito ayuda con el siguiente ejercicio:

Sea \( G=\mathbb{Z_{157}^*} \), sabemos que \( O(2)=52 \) y que \( 2^{46}\equiv{27} \mod 157 \). Me piden hallar \( O(3) \).

He leído las soluciones del ejercicio y primero obtiene \( O(3^3) \) usando los datos anteriores, y llega a que \( O(3^3)=26 \), a partir de esto, llega a que \( O(3)=26mcd(O(3),3) \) y aquí es donde me he perdido: estudia el caso en donde \( mcd(O(3),3)=1 \), es decir, \( O(3)=26 \), luego calcula \( 3^{26}\equiv{144}\mod 157 \) y como es distinto de 1, concluye que \( O(3)\neq{26} \) y entonces \( O(3)=78 \). Así la solución me da a entender que los únicos valores posibles para \( mcd(O(3),3) \) son 1 y 3 ¿Por qué? 

Porque los únicos divisiores de \( 3 \) son \( 1 \) o \( 3 \); y \( mcd(O(3),3) \) es un divisor común a \( O(3) \) y \( 3 \).

Luego en otro punto me piden que halle una raíz primitiva módulo 157 (la solución es 95, pero no entiendo como llegar a ella ) ¿Que proposición puedo aplicar?

Pues no se muy bien como lo halla. En general hallar un a raíz primitiva del grupo multiplicativo no es fácil. En tu caso sabes que el orden del grupo es  \( 157-1=156=2^2\cdot 3\cdot 13 \), por tanto se trata de hallar un elemento de ese orden.

Dado que has visto que \( ord(3)=78=2\cdot 3\cdot 13 \) te basta encontrar un elemento de orden \( 2^2=4 \) y multiplicarlo por \( 3 \).

Y luego, tambien me piden que diga cuantos homomorfismos \( f:\mathbb{Z_{314}^*}\rightarrow{\mathbb{Z_{15}}} \) hay. No sé como relacionarlo con las partes anteriores (más allá de que \( 314=2\cdot{157} \)...) ¿Alguna propiedad de los homomorfismos que me estoy olvidando?

Dado que \( 314 \) es de la forma \( 2p \) con \( p=157 \) primo, \( \mathbb{Z}^*_{314} \) es cíclico de orden \( 156 \). Un morfismo desde él queda definido fijando la imagen de un generador; tal imagen puede ser cualquier elemento del grupo conjunto final cuyo orden divide al del generador, es decir, a \( 156 \). Entonces tienes tantos morfismos como elementos es \( \mathbb{Z}_{15} \) de orden divisores de \( 156 \).

Saludos.

[Jambo]

Hola, gracias por contestar.

Entendí todo, menos el de hallar la raíz primitiva, ¿por qué debería encontrar un elemento de orden 4 y multiplicarlo por 3? ¿no debería multiplicarlo por \( 3\cdot{13} \)? ¿también podría encontrar un elemento de orden 2 y multiplicarlo por 78, no?