[dario_oasis]

Hola disculpen les hago una pregunta, no se como encarar este ejercicio, ¿podrían ayudarme? Desde ya se los agradeceré.

Determinar el valor de verdad de:

    \( (\forall{x}\in{\mathbb{R}})(\forall{y}\exists{R})(\exists{n}\exists{Z})[x+n<y] \).   Justificar


Título modificado.

[manooooh]

Hola

No veo correlación entre el título del asunto y el problema planteado, ya que se involucran infinitos números y sabemos que una tabla de verdad es para objetos finitos.

Determinar el valor de verdad de: \( (\forall{x}\in{\mathbb{R}})(\forall{y}\exists{R})(\exists{n}\exists{Z})[x+n<y] \)justificar

Supongo que en la parte de cuantificadores quisiste poner "\( (\forall{x}\in{\mathbb{R}})(\forall{y}\in\Bbb R)(\exists{n}\in\Bbb Z) \)".

Tomalo con pinzas esto... porque siempre me confundo con estos enunciados. Ah, por favor mostranos qué intentaste para poder ayudarte mejor.

Nos preguntan "¿Será cierto que para dos números reales cualquiera siempre existe un número entero que verifique \( x+n<y \)?". Parece verdadero, ¿no? ¿Cómo se demuestra?

Una forma es negar la función proposicional y analizar el valor de verdad de la proposición negada, y con eso descubriremos el valor de verdad de la proposición sin negar. Entonces \begin{align*}
\neg(\forall x\in\Bbb R(\forall y\in\Bbb R(\exists n\in\Bbb Z(x+n<y))))&\implies\exists x\in\Bbb R\neg(\forall y\in\Bbb R(\exists n\in\Bbb Z(x+n<y)))\\
&\implies\exists x\in\Bbb R(\exists y\in\Bbb R\neg(\exists n\in\Bbb Z(x+n<y)))\\
&\implies\exists x\in\Bbb R(\exists y\in\Bbb R(\forall n\in\Bbb Z\neg(x+n<y)))\\
&\implies\exists x\in\Bbb R(\exists y\in\Bbb R(\forall n\in\Bbb Z(x+n\geq y))).
\end{align*} Ahora el enunciado nos pregunta si existen dos números reales tales que para todo número entero se cumple que la suma de un número real y uno entero es mayor o igual a otro número real.

Si tomamos \( x=y=1 \), ¿se cumple que para todo \( n\in\Bbb Z \) es \( 1+n\geq1 \)? No, puesto que \( n\geq0 \) es falso para \( n\in\Bbb Z \), ya que excluye a los números negativos. Por tanto es falso. Por tanto el enunciado dado es VERDADERO.


Aunque ahora veo que puede realizarse así.

Dejemos al enunciado así como está. Sea \( x\in\Bbb R \). Tomemos \( y=x\in\Bbb R \). Entonces \( x+n<x \) implica que \( n<0 \), pero esto es falso, puesto que \( n\in\Bbb Z \). Por tanto la proposición es FALSA.

Así que mejor esperá a otro usuario que pueda corregir esto o ayudarte mejor.


Ahora yo me pregunto.. ¿qué hubiera pasado si tenemos estos enunciados?:

"\(\forall x\in\Bbb R(\forall y\in\Bbb R(\forall n\in\Bbb Z(x+n<y)))\)"

"\(\forall x\in\Bbb R(\exists y\in\Bbb R(\exists n\in\Bbb Z(x+n<y)))\)"

"\(\forall x\in\Bbb R(\exists y\in\Bbb R(\forall n\in\Bbb Z(x+n<y)))\)"

etc.

¿Qué valor de verdad tienen sus enunciados..? ¡Gracias!

Saludos

Mods

Título cambiado de "Tabla de verdad" a "¿V o F?\(\forall x\in\Bbb R(\forall y\in\Bbb R(\exists n\in\Bbb Z(x+n<y)))\)".

[cerrar]

[mathtruco]

Supongo que en la parte de cuantificadores quisiste poner "\( (\forall{x}\in{\mathbb{R}})(\forall{y}\in\Bbb R)(\exists{n}\in\Bbb Z) \)".

Debe ser así.

También me parece buena idea escribir en palabras lo que están preguntando. Nunca se debe partir una demostración sin entender lo que están preguntando.

Nos preguntan "¿Será cierto que para dos números reales cualquiera siempre existe un número entero que verifique \( x+n<y \)?".

Sean \( x,y\in\mathbb{R} \)   (dos números reales cualquiera).

Elegimos un entero \( n \) tal que \( x-y<-n \) (existe porque \( x-y \) es un número real...).

Por por tanto, \( x+n<y \).

[dario_oasis]

Disculpa esa es la manera correcta de responder a la pregunta que me hicieron?

[manooooh]

Hola

¿Disculpa esa es la manera correcta de responder a la pregunta que me hicieron?

La respuesta que da mathtruco:

Sean \( x,y\in\mathbb{R} \)   (dos números reales cualquiera).

Elegimos un entero \( n \) tal que \( x-y<-n \) (existe porque \( x-y \) es un número real...).

Por por tanto, \( x+n<y \).

es correcta (al menos para mí). ¿Qué parte de su demostración no entendés?

Saludos

[dario_oasis]

Lo entendí desde ya muchas gracias por la respuesta!muy claro en la explicación.