manooooh: pero acá no tenemos una EDO para aplicar el teorema que mencionas. Hay un teorema sobre la existencia y unicidad de funciones definidas implíticamente.
Función Implícita (Teorema de existencia y unicidad):
Sea \( F:U\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R} \) una función con derivadas parciales continuas en \( U \) y sea \( (x_0,y_0) \) un punto interior a \( U \) tal que \( F(x_0,y_0)=0 \) y \( \frac{\partial}{\partial y}F(x_0,y_0)\neq 0 \). Entonces existe un intervalo \( I\subset U \), centrado en \( x_0 \), y una única función \( y:I\rightarrow\mathbb{R} \) con derivada continua en \( I \) tal que \( y(x_0)=y_0 \) que es solución de \( F(x,y)=0 \).
En tu problema, \( F(x,y)=e^{4y}-\ln(y)-2x \).
(a)Normente a uno le dan el punto \( (x_0,y_0) \), pero acá no te lo dan podemos buscar alguno cruzando los dedos de que sirva.
Como \( F(x_0,y_0)=0 \), elijo (porque sí, simplemente se me ocurrió) \( y_0=1/4 \), y así:
\( F(x_0,1/4)=e+\ln(4)-2x_0=0 \), de donde \( x_0=\dfrac{1}{2}(e+\ln(4)) \).
Por tanto, el punto \( (x_0,y_0)=\left(\dfrac{1}{2}(e+\ln(4)),\dfrac{1}{4}\right) \) cumple con \( F(x_0,y_0) \) (es decir, \( (x_0,y_0) \) pertenece a la curva).
(b)Calculamos las derivadas parciales de \( F \):
\( \frac{\partial}{\partial x}F=-2 \)
\( \frac{\partial}{\partial y}F=4e^{4y}-\dfrac{1}{y} \)
Ambas derivadas parciales son continuas en el dominio de \( F \), en particular son continuas en un entorno de \( (x_0,y_0)=\left(\dfrac{1}{2}(e+\ln(4)),\dfrac{1}{4}\right) \).
(c) Puedes verificar que:
\( \frac{\partial}{\partial y}F(x_0,y_0)\neq 0 \)
Por tanto, el teorema afirma que exite un intervalo \( I \) centrado en \( x_0=\dfrac{1}{2}(e+\ln(4)) \) y existe una única función \( y:I\rightarrow\mathbb{R} \) con derivada continua en \( I \) tal que \( y(x_0)=y_0 \) que es solución de \( F(x,y)=0 \).
Si el \( (x_0,y_0) \) que nos dimos no hubiera cumplido todas las hipótesis, habría que buscarse otro y (nuevamente) cruzar los dedos para que sí sirva. Pero como te mencionaba más arriba, lo normal es que nos den el \( (x_0,y_0) \) como parte del enunciado.
