Autor Tema: Morfismos entre [texx]\mathbb{Z_{54}^*}[/texx] y [texx]\mathbb{Z_{36}}[/texx]?

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21 Enero, 2019, 03:11 am
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Jambo

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Hola, aún tengo problemas con los morfismos  :'(

Me piden hallar todos los morfismos \( f:\mathbb{Z_{54}^*}\rightarrow{\mathbb{Z_{36}}} \), además me dicen que 5 es raíz primitiva de \( \mathbb{Z_{54}^*} \), por lo tanto 5 es un generador de dicho grupo, y también me dicen que utilice la siguiente proposición: "Sea \( G \) un grupo cíclico finito con generador \( g \). Si \( K \) es otro grupo finito, entonces todos los morfismos \( f:G\rightarrow{K} \) quedan determinados por \( f(g)\in{K} \) tal que \( O(f(g)) \) divide a \( O(g) \)"

El problema es que no entiendo muy bien como funciona dicha proposición...Aplicandola sin más, tengo que \( O(f(5)) \) divide a 18 (que es el orden de 5), entonces \( f(5) \) podría ser 2, ya que el orden de 2 en \( \mathbb{Z_{36}} \) es 18, o también podria ser 4, porque el orden de 4 es 9... pero no entiendo que pasa con el resto de los elementos  ???

Espero se me entienda y puedan ayudarme.

Spoiler
\( \mathbb{Z_{54}^*} \) son los invertibles módulo 54, el grupo es con la multiplicación, y \( \mathbb{Z_{36}} \) con la suma.
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21 Enero, 2019, 08:10 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Un morfismo de grupos desde un grupo cíclico queda determinado por la imagen del generador \( g \).

 Cualquier otro elemento es de la forma \( g^n \) y así:

 \( f(g^n)=f(g)^n \) ó \( nf(g) \) si usamos notación sumativa en el segundo grupo

 Para que la aplicación esté bien definida como \( g^{ord(g)}=1 \) tiene que cumplirse que \( f(g)^{ord(g)}=1 \) y por eso se exige que \( ord(f(g)) \) divida a \( ord(g) \).

Saludos.

21 Enero, 2019, 10:54 pm
Respuesta #2

Jambo

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Hola, gracias por contestar :)

Entendí, pero tengo otra duda respecto al mismo ejercicio; en las soluciones del ejercicio dice "...Por lo tanto tenemos un morfismo de grupos por cada elemento par de \( \mathbb{Z_{36}} \)", mi duda es, ¿como hago para saber que el orden de los elementos pares divide a 18? ¿Hay una forma de darme cuenta sin estudiar todos los elementos de \( \mathbb{Z_{36}} \)?

22 Enero, 2019, 07:27 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola, gracias por contestar :)

Entendí, pero tengo otra duda respecto al mismo ejercicio; en las soluciones del ejercicio dice "...Por lo tanto tenemos un morfismo de grupos por cada elemento par de \( \mathbb{Z_{36}} \)", mi duda es, ¿como hago para saber que el orden de los elementos pares divide a 18? ¿Hay una forma de darme cuenta sin estudiar todos los elementos de \( \mathbb{Z_{36}} \)?

El orden de un elemento \( m \) en \( \mathbb{Z}_n \) es \( ord(m)=n/mcd(n,m) \).

En nuesrto caso \( n=36=2^2\cdot 3^2 \). Para que \( n/mcd(n,m) \) divida a \( 18 \), \( mcd(n,m) \) tiene que ser múltiplo de \( 2 \). Es decir simplemente \( m \) tiene que ser par.

Saludos.