[Jambo]

Hola

Me piden investigar si existen morfismos \( f:G\rightarrow{K} \), ademas del trivial (el que "manda" todos los elementos al neutro) entre \( G=S_6 \) y
\( K=\mathbb{Z_3} \) (\( S_6 \) es el grupo de permutaciones con 6 elementos). ¿Qué puedo hacer? Me parece que estudiar los elementos de \( S_6 \) sería un poco tedioso...

Agradezco su ayuda de antemano

Spoiler

Intenté poner en el titulo "Morfismos entre  \( S_6 \) y \( \mathbb{Z_3} \)", pero como que el latex no funcionó  ...

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[manooooh]

Hola

(...) (\( S_6 \) es el grupo de permutaciones con 6 elementos). (...)

¿Qué operación tiene asociada, composición?

Intenté poner en el titulo "Morfismos entre  \( S_6 \) y \( \mathbb{Z_3} \)", pero como que el latex no funcionó  ...

Las etiquetas [tex][/tex] no funcionan en el título; en su defecto podés usar las etiquetas  \(...\ ).

Saludos

[Jambo]

Hola

\( S_6 \) con la composición (y \( \mathbb{Z_3} \) con la suma).

[filomates]

¿Hay en \( S_6 \) subgrupos ciclicos de orden 3? Podrían ser permutaciones que dejaran fijos tres elementos y relacionaran los otros tres cíclicamente. A los mejor así salían unos cuantos. (¿Puede ser \( \displaystyle\frac{6!}{3!\cdot{3!}} \)?)
Puede ser un buen punto de partida, es cuestión de comprobar.
Y luego pensar si hay más o no

[martiniano]

Hola.

A mí me sale que no existe tal morfismo. A ver qué os parece:

Supongamos que \( f:S_6\rightarrow{\mathbb{Z_3}} \) es un morfismo y sea \( \tau\in{S_6} \) una trasposición cualquiera. Entonces:

\( 0=f(Id)=f(\tau^2)=f(\tau\circ{\tau})=f(\tau)+f(\tau)=2f(\tau) \) de donde \( f(\tau)=0 \)

EDITADO
Y como cualquier permutación \( \rho\in{}S_6 \) puede ser expresada como combinación de trasposiciones, podemos suponer \( \rho=\tau_1\circ{\tau_2\circ{}...\circ{\tau_k}} \) con \( \tau_i \) trasposiciones no necesariamente distintas. Y de aquí que:

\( f(\rho)=f(\tau_1\circ{\tau_2\circ{}...\circ{\tau_k}})=f(\tau_1)+f(\tau_2)+...+f(\tau_k)=0+0+...+0=0 \) para todo \( \rho\in{S_6} \)

Espero que esté todo correcto y que sea útil. Un saludo.

[filomates]

Hola.

A mí me sale que no existe tal morfismo. A ver qué os parece:

Supongamos que \( f:S_6\rightarrow{\mathbb{Z_3}} \) es un morfismo y sea \( \tau\in{S_6} \) una trasposición cualquiera. Entonces:

\( 0=f(Id)=f(\tau^2)=f(\tau\circ{\tau})=f(\tau)+f(\tau)=2f(\tau) \) de donde \( f(\tau)=0 \)

EDITADO
Y como cualquier permutación \( \rho\in{}S_6 \) puede ser expresada como combinación de trasposiciones, podemos suponer \( \rho=\tau_1\circ{\tau_2\circ{}...\circ{\tau_k}} \) con \( \tau_i \) trasposiciones no necesariamente distintas. Y de aquí que:

\( f(\rho)=f(\tau_1\circ{\tau_2\circ{}...\circ{\tau_k}})=f(\tau_1)+f(\tau_2)+...+f(\tau_k)=0+0+...+0=0 \) para todo \( \rho\in{S_6} \)

Espero que esté todo correcto y que sea útil. Un saludo.

La "pista" que yo he dado llevaría a probar que existen muchos subgrupos de \( S_6 \) que son isomorfos a \( Z_3 \) lo cual no tiene nada que ver con lo que pide el problema.
Por tanto yo estaba confundido y martiniano tiene razón