[Jambo]

Hola

Estoy algo perdida y necesito ayuda con el siguiente ejercicio:

Verificar si los siguientes grupos son isomorfos o no; en caso de que lo sean , encontrar un isomorfismo entre ellos. Los grupos son: \( (\mathbb{Z_4},+) \) y \( (U_{10},\cdot{}) \)

¿Cómo verifico que son isomorfos sin encontrar el isomorfismo? 

Intenté armar el isomorfismo, y para eso estudié los ordenes de los elementos de dichos grupos (Los elementos de \( (\mathbb{Z_4},+) \) tienen orden \( O(0)=1, O(1)=4, O(2)=2, O(3)=2 \) y los de \( (U_{10},\cdot{}) \) tienen orden \( O(1)=1, O(3)=4, O(7)=4, O(9)=2 \)) y como no puedo armar una funcion que lleve elementos de \( \mathbb{Z_4} \) a \( U_{10} \) y "preserve" el orden de cada elemento, entonces puedo afirmar que no existe isomorfismo?

Agradezco su ayuda de antemano

[manooooh]

Hola

Verificar si los siguientes grupos son isomorfos o no; en caso de que lo sean , encontrar un isomorfismo entre ellos. Los grupos son: \( (\mathbb{Z_4},+) \) y \( (U_{10},\cdot{}) \)

Preguntonta, ¿quién es \( U_{10} \)?

¿Cómo verifico que son isomorfos sin encontrar el isomorfismo? 

Según tengo anotado en mis (pobres) apuntes, dados dos grupos \( (G,*) \) y \( (G,*') \), y la función \( f:G\to G' \) tal que \( \forall a,b\in G:f(a*b)=f(a)*'f(b) \), \( f \) se dice isomorfismo si y sólo si la función \( f \) es biyectiva (o sea monomorfismo y epimorfismo).

Espero que te sea útil.

Saludos

Mods

Título cambiado de "Grupos isomorfos?" a "¿Son isomorfos [texx](\Bbb Z_4,+)[/texx] y [texx](U_{10},\cdot)[/texx]?".

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[martiniano]

Hola.

Preguntonta, ¿quién es \( U_{10} \)?

Pues yo tampoco había oído hablar de él, pero por las propiedades que tiene diría que es el conjunto de números menores que \( 10 \) y coprimos con él con la operación el producto módulo \( 10 \). En fin, encantado de conocerle 

Intenté armar el isomorfismo, y para eso estudié los ordenes de los elementos de dichos grupos (Los elementos de \( (\mathbb{Z_4},+) \) tienen orden \( O(0)=1, O(1)=4, O(2)=2, O(3)=\color {red}2 \) y los de \( (U_{10},\cdot{}) \) tienen orden \( O(1)=1, O(3)=4, O(7)=4, O(9)=2 \)) y como no puedo armar una funcion que lleve elementos de \( \mathbb{Z_4} \) a \( U_{10} \) y "preserve" el orden de cada elemento, entonces puedo afirmar que no existe isomorfismo?

Diría que si son isomorfos. Tienes un error. Te lo he marcado en rojo. Seguro que puedes corregirlo.

A modo de apunte recordar que sólo hay dos grupos de cuatro elementos salvo isomorfismos, ambos abelianos. Uno es \( \mathbb{Z_4} \) cuyos elementos y sus órdenes ya conoces y el otro es \( \mathbb{Z_2}\times{\mathbb{Z_2}} \), cuyos elementos son todos de orden dos salvo el elemento neutro que es de orden uno.

Espero que sea útil. Un saludo.

[Jambo]

Hola, gracias por contestar

Asi es, \( U_{10} \) es el grupo de los invertibles módulo 10, disculpas por no aclarar.

Intenté armar el isomorfismo, y para eso estudié los ordenes de los elementos de dichos grupos (Los elementos de \( (\mathbb{Z_4},+) \) tienen orden \( O(0)=1, O(1)=4, O(2)=2, O(3)=\color {red}2 \) y los de \( (U_{10},\cdot{}) \) tienen orden \( O(1)=1, O(3)=4, O(7)=4, O(9)=2 \)) y como no puedo armar una funcion que lleve elementos de \( \mathbb{Z_4} \) a \( U_{10} \) y "preserve" el orden de cada elemento, entonces puedo afirmar que no existe isomorfismo?

Diría que si son isomorfos. Tienes un error. Te lo he marcado en rojo. Seguro que puedes corregirlo.

A modo de apunte recordar que sólo hay dos grupos de cuatro elementos salvo isomorfismos, ambos abelianos. Uno es \( \mathbb{Z_4} \) cuyos elementos y sus órdenes ya conoces y el otro es \( \mathbb{Z_2}\times{\mathbb{Z_2}} \), cuyos elementos son todos de orden dos salvo el elemento neutro que es de orden uno.

Espero que sea útil. Un saludo.

Gracias por mostrarme el error, \( O(3)=4 \) ¿no? y ahora si puedo construirme un isomorfismo

[martiniano]

\( O(3)=4 \) ¿no? y ahora si puedo construirme un isomorfismo

Sí, eso es. 

Un saludo.