[llonni]

Tengo una variable aleatoria exponencial de media 50, truncada en 1 y en 100 (sólo me quedo con los valores comprendidos entre 1 y 100).

¿Cómo puedo calcular la media de la nueva distribución?

Salu2 y muchas gracias

[cormonse]

Intentaré ayudarte aunque creo que o no he entendido bien el enunciado o no está correctamente escrito, luego pondré las razones. Primero la función exponencial de parámetro a, Exp(a), tiene por función densidad:

\( p(x)=\begin{Bmatrix} a\cdot{e^{-ax}} & \mbox{ si }& x > 0\\0 & \mbox{si}& x \leq{0}\end{matrix} \)

Su media es \( E[X]=\displaystyle\frac{1}{a} \), por lo que para la primera distribución sería \( a=\displaystyle\frac{1}{50} \)

Ahora bien, tenemos una nueva variable aleatoria donde 1 < y < 100 pero nos dicen que vuelve a seguir la forma de la distribución exponencial por lo que:

\( p(y)=\begin{Bmatrix} b\cdot{e^{-bx}} & \mbox{ si }& 1< x < 100\\0 & \mbox{resto}\end{matrix} \)

Ahora para que está expresión sea una función de densidad tiene que verificar necesariamente que:

\( \displaystyle\int_{1}^{100} p(y) dy = 1 \). Integrando hallarías una ecuación que te permitiría conocer el valor del parámetro b. Conocido esto la media de esta distribución se hallaría:

\( E[y]=\displaystyle\int_{1}^{100} y\cdot{p(y)}dy \). Y estaría resuelto el problema, ahora bien me asaltan dos dudas:

1) La ecuación para determinar b es complicada y no permite (creo yo) su resolución analítica.

2) ¿ Para que nos dan el dato que la distribución primera tiene media 50 ?

Esto me lleva a lo que te comente que o no he comprendido bien el problema o falta algo. De todas maneras espero haberte podido ayudar en algo, el planteamiento realizado es valido para cualquier distribución.

[llonni]

La nueva distribución no tiene por qué ser una exponencial, de hecho yo creo que no lo es. Por la información que tu has puesto, entiendo que la media de la nueva distribución seria integrar

\( E[y]=\displaystyle\int_{1}^{100} y\cdot{p(y)}dy \)

donde

\( p(y)=\begin{Bmatrix} a\cdot{e^{-ay}} & \mbox{ si }& 1< y < 100\\0 & \mbox{resto}\end{matrix} \)

y como la integral sería del tipo

\( \displaystyle\int_{} x\cdot{e^{ax}}dx =\displaystyle\frac{e^{ax}}{a}\cdot{(x + \displaystyle\frac{1}{a})} \)

la solución está tabulada.


Mi pregunta es si esto que he puesto acerca de la nueva media tiene sentido

Salu2 y muchas gracias de nuevo

[cormonse]

Bien te recuerdo que una función \( p: \mathbb{R} \longrightarrow{}\mathbb{R} \) es una función de densidad si se verifican las tres condiciones siguientes:

1) \( p(x) \geq{0} \), \( \forall{}x\in{\mathbb{}} \)
2) p es integrable es el sentido de Riemann (tiene a lo sumo un número finito de discontinuidades en cada intervalo acotado de R).
3) \( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}p(x)dx=1 \)

Observa como la función:

\( p(y)=\begin{Bmatrix} a\cdot{e^{-ay}} & \mbox{ si }& 1< y < 100\\0 & \mbox{resto}\end{matrix} \)

cumple las dos primeras condiciones de por si, y la tercera la cumplimos hallando el valor a que hace verificar la condición.

Por tanto vemos que la función que hemos definido (una vez hallado a) cumple los requisitos para ser considerada una función densidad, y es tan valida como la función densidad de la distribución normal. Lo único que se debería comprobar (en la práctica) es ver si:

\(  \forall{\left<{a,b}\right>}}} \rightarrow{P(x\in{\left<{a,b}\right>})=\displaystyle\int_{a}^{b}p(t)dt \)

Donde \( \left<{a,b}\right> \) representa cualquier intervalo de la forma (a,b), (a,b],[a,b] o [a,b].

No hay funciones de densidad mejores ni peores, lo que ocurre que las distribuciones usuales suelen repetirse más para ciertos fenómenos aleatorios que ocurren en la práctica, siendo modelos adecuados de estos, pero no implica que sólo puedan usarse esas funciones.

Saludos.