La cuestión es que si tu defines una v.a. transformada de otra v.a. la función de densidad que define a la nueva variable es desconocida a priori y debe calcularse. Siguiendo con mi ejemplo: si \( Y = e ^ X \), tenemos que la función de distribución de Y se puede calcular como sigue:
\( F_Y(y)=P[Y \leq{} y ] = P [ e ^ X \leq{} y] = P [X \leq{} ln (y)] = F_X(ln(y)) \)
La función distribución de X, v.a uniforme en (0,1), es:
\( F_X(x)=\begin{Bmatrix}{0}&\mbox{ si }& x\leq{}0\\x & \mbox{si}& 0< x < 1\\1 & \mbox{si}& x\geq{}1\end{matrix} \)
Teniendo en cuenta que si \( X \in{} (0,1) \Leftrightarrow{} Y = e^X \in{} (1,e) \):
\( F_Y(y)=\begin{Bmatrix}{0}&\mbox{ si }& y\leq{}1\\ln (y) & \mbox{si}& 1< y < e\\1 & \mbox{si}& y\geq{}e\end{matrix} \)
Podemos ya calcular de manera inmediata la funcion densidad de está variable Y:
\( f(y)=\frac{dF_Y(y)}{dy}=\displaystyle\frac{1}{y} \) para 1 < y < e, siendo 0 en el resto de valores.
Ahora ya estamos preparados para calcular la esperanza de la v.a. Y:
\( E[Y]=\displaystyle\int_{1}^{e} y \cdot{} f(y) dy = \displaystyle\int_{1}^{e} y \cdot{} \displaystyle\frac{1}{y} dy=\displaystyle\int_{1}^{e} dy = e-1 \)
Nos queda ahora el calculo de: \( E[XY] = \displaystyle\int \displaystyle\int xy\cdot{}f(x,y) dx dy \). Si definimos la variable Z=X\cdot{}Y, tenemos que \( E[XY]=E[Z]=\displaystyle\int Z\cdot{} f(z) dz \). Luego el problema se centra en definitiva en el cálculo de la función de densidad de la v.a. Z.
Existe un teorema de transformación de variables que nos daría directamente la función densidad de la v.a. Z pero para eso deberíamos conocer la función densidad conjunta de X e Y, f(x,y). Como no es conocida, ni calculable directamente a partir de f(x) y de f(y) no es aplicable.
Si seguimos el método que aplique para la variable Y:
\( F_Z(z)=P[Z \leq{} z ] = P [ X\cdot{}e ^ X \leq{} y] \)
Y tenemos el problema que no es posible despejar la variable X de forma analítica salvo que se utilice la función W de lambert:
\( F_Z(z)=P[Z \leq{} z ] = P [ X\cdot{}e ^ X \leq{} z]=P [X \leq{} W(z)]=F_X(W(z)) \)
La variable \( Z=X\cdot{} Y \in{} (0,e) \), por lo que su función de distribución será:
\( F_Z(z)=\begin{Bmatrix}{0}&\mbox{ si }& y\leq{}0\\W(z) & \mbox{si}& 0< y < e\\1 & \mbox{si}& y\geq{}e\end{matrix} \)
Todavía la función de densidad de la variable Z es calculable teniendo en cuenta que \( \frac{dW(x)}{dx}=\displaystyle\frac{W(x)}{x\cdot{}(1+W(x))} \):
\( f(z)=\frac{dF_Z(z)}{dz}=\displaystyle\frac{W(z)}{z\cdot{}(1+W(z))} \) para 0 < z < e, siendo 0 en el resto de valores.
Ahora podríamos intentar calcular la esperanza de la v.a. Z:
\( E[Z]=\displaystyle\int_{0}^{e} z \cdot{} f(z) dz = \displaystyle\int_{0}^{e} \displaystyle\frac{W(z)}{1+W(z)} dz \)
Pero cualquiera integra analíticamente eso, además aún consiguiendo una expresión en función de W(z) pues queda mucho menos elegante que el resultado que has obtenido tu de forma tan sencilla (si, lo reconozco, tiendo a matar moscas a cañonazos). El resultado que has dado es totalmente correcto, lo he comprobado con matlab, pero no encuentro el soporte teoríco a las expresiones por la simple razón que las distribuciones de probabilidad de las v.a. transformadas también quedan transformadas.
Al final he puesto un tocho-post, perdon por las molestias.
