[manooooh]

Hola!

Me ha surgido la duda de por qué la integral de una función desplaza vertical y no horizontalmente a la función que resulta después de la integración.

Recordemos que una función \( f(x) \) sufre un desplazamiento vertical cuando existe un \( h\in\Bbb R \) tal que \( f(x)\pm h \), y es un desplazamiento horizontal a aquella función \( f(x\pm h) \).

Entonces, ¿por qué \( \int f(x)\,\mathrm dx=F(x)+C \) y no \( F(x+C) \) o sino \( F(x+C)+h \) para \( C,h\in\Bbb R \)?

Me gustaría otra explicación, si la hay, además de la "Si derivás \( F(x+C) \) no es lo mismo que \( f(x) \)".

Gracias!
Saludos

[sugata]

Fijate en una integral sencilla.
\( \displaystyle\int_{}^{} 2xdx=x^2+C \)
La función original solo se distingue por una constante.
\( x^2+1\\x^2+\pi\\.... \)
La razón es simple, al derivar, la derivada de una constante es cero.

Editado: integral corregida.

[Luis Fuentes]

Hola

Me ha surgido la duda de por qué la integral de una función desplaza vertical y no horizontalmente a la función que resulta después de la integración.

Recordemos que una función \( f(x) \) sufre un desplazamiento vertical cuando existe un \( h\in\Bbb R \) tal que \( f(x)\pm h \), y es un desplazamiento horizontal a aquella función \( f(x\pm h) \).

Entonces, ¿por qué \( \int f(x)\,\mathrm dx=F(x)+C \) y no \( F(x+C) \) o sino \( F(x+C)+h \) para \( C,h\in\Bbb R \)?

Me gustaría otra explicación, si la hay, además de la "Si derivás \( F(x+C) \) no es lo mismo que \( f(x) \)".

Me resulta algo extraña la pregunta y que quieras otras explicación distinta. Lo detallo.

Por definición: \( \displaystyle\int f(x)\,\mathrm dx \) es una primitiva de \( f(x) \), es decir, una función \( G(x) \) tal que \( G'(x)=f(x) \).

Spoiler

Puede haber ciertos matices y variantes en la definición: si se refiere a una primitiva concreta o la familia de primitivas... pero es secundario en todo esto.

[cerrar]

Entonces si \( F(x) \) es una función cumpliendo \( F'(x)=f(x) \) la familia de primitivas es \( \{F(x)+C|C\in \mathbb{R}\} \) porque cualquier función \( G(x)=F(x)+C \) cumple \( G'(x)=F(x) \). Por eso se escribe:

\( \displaystyle\int f(x)\,\mathrm dx=F(x)+C \)

¿Por qué no \( F(x+C) \)? pues porque bajo las mismas premisas \( F'(X+C)=f(x+C)\neq f(x) \), es decir, supuesto que \( F(x) \) es una primitiva de \( f(x) \) NO se cumple en general que \( F(x+C) \) sea también primitiva de \( f(x). \)

Digo que me sorprende la pregunta porque no veo ningún motivo ni intuitivo ni formal por el cual uno debiera de sospechar que \( F(x+C) \) pudiese funcionar como familia de primitivas de la función.

Saludos.

[manooooh]

Hola, muchas gracias!

\( \displaystyle\int_{}^{} 1/2xdx=x^2+C \)

El integrando debería ser \( 2x \).

La función original solo se distingue por una constante.

¿La constante no podría haber estado dentro de la función integrada?

La razón es simple, al derivar, la derivada de una constante es cero.

Digo que me sorprende la pregunta porque no veo ningún motivo ni intuitivo ni formal por el cual uno debiera de sospechar que \( F(x+C) \) pudiese funcionar como familia de primitivas de la función.

Lo pregunto porque tenemos dos ejes cartesianos; por convención son el \( x \) e \( y \). Al integrar con respecto a \( x \), la nueva función se desplaza hacia arriba o abajo, e integrar con respecto a \( y \) la nueva función se desplaza hacia la derecha o izquierda, ¿no?

Mi pregunta es por qué la integral no se diseñó (recordando que las matemáticas se crean) para que la nueva función también sufra un desplazamiento horizontal, en caso de que la variable sea la contraria al desplazamiento, y viceversa. Incluso por qué tomar una función aun más general; la que pueda desplazarse horizontal y verticalmente. O sea, me parece arbitrario que sólo sufra un desplazamiento vertical y no también uno horizontal. ¿Por qué la familia de primitivas no podría haber sido \( \{F(x+C)\mid C\in \mathbb{R}\} \)?

Saludos

[sugata]

Integral corregida.
No se muy bien como explicártelo, pero es por la propia definición de derivada.
Volvemos con mi función.
\( f(x) =x^2\\f(x+c)=x^2+2cx+c^2 \)
Obviamente tienen derivadas diferentes.

[Luis Fuentes]

Hola

Lo pregunto porque tenemos dos ejes cartesianos; por convención son el \( x \) e \( y \). Al integrar con respecto a \( x \), la nueva función se desplaza hacia arriba o abajo, e integrar con respecto a \( y \) la nueva función se desplaza hacia la derecha o izquierda, ¿no?

Pero ahí estás haciendo un batiburrillo inconcreto. Una función no depende de la letra que usemos para denoarla. Es la misma función \( f(x)=x^2 \) que \( f(y)=y^2 \). Otra cosa es que te refieras a la notación \( y=f(x) \) que ayuda a representar la gráfica de la función. Entonces ahí puede a veces despejarse \( x \) en función de \( y \). Por ejemplo \( y=x^2 \) y de ahí una inversa local sería \( x=\sqrt{y} \), es decir, \( x=g(y) \), con \( g(y)=\sqrt{y} \). Uno puede integrar la función g(y)=\sqrt{y} pero es otra función distinta a la original \( f(x)=x^2. \)

Mi pregunta es por qué la integral no se diseñó (recordando que las matemáticas se crean) para que la nueva función también sufra un desplazamiento horizontal, en caso de que la variable sea la contraria al desplazamiento, y viceversa.

Es que la integral no se inventó para nada de eso; no se "diseñó" para que la nueva función sufra un desplazamiento vertical (de hecho esa interpretación es un tanto forzada). Lo que llamas "la nueva función" es una primitiva o una familia de primitivas según el enfoque.

La integral surgió como herramienta para calcular volúmenes y recibió el impulso definitivo cuando se relacionó este enfoque con el cálculo diferencial, identificando de cierta manera la integración como la operación opuesta a la derivación.

Que dos primitivas se diferencien en una constante es únicamente consecuencia de que ambas tienen la misma derivada.

Incluso por qué tomar una función aun más general; la que pueda desplazarse horizontal y verticalmente. O sea, me parece arbitrario que sólo sufra un desplazamiento vertical y no también uno horizontal. ¿Por qué la familia de primitivas no podría haber sido \( \{F(x+C)\mid C\in \mathbb{R}\} \)?

Insisto en que en ningún momento en la definición de integral se valora ningún comportamiento especial respecto a desplazamientos. Revisa la definición de primitiva que puse en mi anterior mensaje u otras definiciones de integral.

Saludos.

[geómetracat]

Lo pregunto porque tenemos dos ejes cartesianos; por convención son el \( x \) e \( y \). Al integrar con respecto a \( x \), la nueva función se desplaza hacia arriba o abajo, e integrar con respecto a \( y \) la nueva función se desplaza hacia la derecha o izquierda, ¿no?

Mi pregunta es por qué la integral no se diseñó (recordando que las matemáticas se crean) para que la nueva función también sufra un desplazamiento horizontal, en caso de que la variable sea la contraria al desplazamiento, y viceversa. Incluso por qué tomar una función aun más general; la que pueda desplazarse horizontal y verticalmente. O sea, me parece arbitrario que sólo sufra un desplazamiento vertical y no también uno horizontal. ¿Por qué la familia de primitivas no podría haber sido \( \{F(x+C)\mid C\in \mathbb{R}\} \)?

Saludos

Lo que pasa es que los ejes x e y en análisis de 1 variable no juegan papeles simétricos. El eje de las x representa el dominio de la función, y el eje de las y el recorrido, que son cosas que se comportan de manera bien distinta.

Por ejemplo, para definir una función pides que a cada valor de las x le corresponda un único valor de las y, de manera que si tienes dos valores de y para un mismo valor de x lo que tienes no es una función, pero en cambio es perfectamente admisible tener dos valores de x para el mismo valor de y.

Para la integral (definida) pasa lo mismo: su interpretación geométrica es el área bajo la curva de la función: es decir, el área  que queda entre la gráfica de una función y el eje de las x (y no el eje de las y). Por tanto, es de esperar que su comportamiento no sea el mismo si hacemos una transformación a las x o si se la hacemos a las y.

Espero que esto te sirva como idea intuitiva. La respuesta rigurosa a tu pregunta sobre la integral (indefinida) ya te la han dado: la derivada de una constante es 0.