El concepto más general de tensor que yo conozco es el dado por el producto tensorial de módulos, de modo que si tienes \( A \)-módulos \( M_1,\ldots, M_n \) (supongo el anillo \( A \) conmutativo por simplicidad) entonces está definido el producto \( M_1\otimes_A \cdots \otimes_A M_n \), que es un \( A \)-módulo generado por tensores de la forma \( m_1\otimes \cdots \otimes m_n \), con \( m_i\in M_i \).
Si esto lo aplicas a un espacio vectorial \( V \) y a su dual \( V^* \) sobre un cuerpo \( k \), puedes considerar los productos tensoriales \( V\otimes_k\cdots \otimes_k V\otimes_k V^*\otimes_k\cdots \otimes_k V^* \), que pueden identificarse canónicamente con las funciones multilineales \( f:V\times \cdots V\times V^*\times \cdots V^*\longrightarrow k \) y son lo que normalmente se entiende como tensores de tipo \( (r, s) \) sobre \( V \) (donde \( r, s \) son el número de factores iguales a \( V \) y a \( V^* \), respectivamente).
Ahora bien, en geometría diferencial se suele llamar tensores sobre una variedad diferencial \( V \) a lo que en sentido estricto son formas tensoriales, es decir, aplicaciones que a cada punto \( p\in V \) le hacen corresponder un tensor de tipo \( (r, s) \) en el espacio tangente \( T_p(V) \), de modo que la asignación sea diferenciable, en un sentido que se define adecuadamente.
