[martiniano]

Hallar el foco y la directriz de una parábola dados una cuerda focal \( AB \) y la dirección de su eje.

Spoiler

Primero hallamos las tangentes en \( A  \) y en \( B \) (rectas \( k \) y \( l \) respectivamente). Para eso no hay más que trazar una paralela al eje por \( A \) y otra por \( B \). Las tangentes buscadas son las bisectrices de cada una de estas rectas con la recta \( AB \).

Luego trazamos paralela al eje (recta \( n  \) en el dibujo) por la intersección de ambas tangentes (punto \( E \)). Sea \( F \) la intersección de \( AB  \) con \( n \). Ahora buscamos la intersección de esa recta con la parábola. Para ello consideramos la involución que relaciona cada punto de \( n \) con la intersección de su polar con \( n \). De esa involución conocemos un punto doble (el punto impropio de \( n \)) y un par de puntos homólogos (\( E \) y \( F \)). La intersección buscada es el otro punto doble, que será el punto medio de \( E \) y \( F \). Llamémosle \( G \).

La tangente a la parábola por \( G \) es, por conjugación, paralela a \( AB \) y haciendo la simétrica a \( n \) respecto a la normal en \( G \) se obtiene una recta que contiene el foco.

Una vez conocido el foco, buscar la directriz es simple.

Y por simetría con respecto a \( F \) puede hallarse una segunda solución.

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Un saludo.