[mrrepa]

Suponga que los elementos de A y x son números reales. Haciendo uso de la definición de multiplicación de matrices, argumente por qué Ax=0 significa que cada renglón de A es perpendicular a x (recuerde que dos vectores reales son perpendiculares si su producto escalar es cero).
Muchas gracias de antemano.

[Masacroso]

Suponga que los elementos de A y x son números reales. Haciendo uso de la definición de multiplicación de matrices, argumente por qué Ax=0 significa que cada renglón de A es perpendicular a x (recuerde que dos vectores reales son perpendiculares si su producto escalar es cero).
Muchas gracias de antemano.

Tienes que relacionar el producto escalar de vectores (sabes lo que es el producto escalar de vectores, ¿no? Cuando el producto escalar de dos vectores, usando una base ortonormal, es cero entonces decimos que los vectores son perpendiculares) con la multiplicación de matrices.

Es la única pista que puedo dejarte, el problema es de muy fácil solución. ¿Has intentado resolverlo antes de preguntar en el foro?

[mrrepa]

Si claro, pero a la única respuesta que puedo llegar es porquue al multiplicar Ax nos da un producto escalar igualado a 0, y esto nos dice son perpendiculares entre si
Cuando lo hago con matrices se hacerlo, pero no explicarlo.

[Masacroso]

Si claro, pero a la única respuesta que puedo llegar es porquue al multiplicar Ax nos da un producto escalar igualado a 0, y esto nos dice son perpendiculares entre si
Cuando lo hago con matrices se hacerlo, pero no explicarlo.

Si \( Ax=y \) entonces cada coordenada del vector \( y \) se define por el producto escalar de dos vectores: un vector-fila de \( A \) y \( x \). Entonces \( x \) es perpendicular a cada uno de estos vectores fila si su producto escalar es cero, es decir, si cada coordenada de \( y \) es cero.

[feriva]

Cuando lo hago con matrices se hacerlo, pero no explicarlo.

Creo que lo que necesitas (o quieres hacer tú) es explicar por qué cuando el producto escalar es cero se tienen vectores perpendiculares.

Si tomamos dos vectores, por ejemplo, así \( (0,1,0)(0,0,1)
  \), su producto escalar es cero; y esto pasa porque las coordenadas donde hay un número distinto de cero no coinciden en los mismos ejes; entonces, dibujando, se ve por qué razón son ortogonales (como en la base canónica).

Ahora, si tomamos otros vectores cuyo producto escalar es cero pero no tienen ninguna coordenada cero, como por ejemplo \( (1,1,1)(2,1,-3)
  \), entonces no se ve bien; pero se me ocurre transformarlos mediante combinaciones lineales para que quede algo análogo.

Tomando un tercer vector elegido con cierta intención para completar una base, tenemos la matriz

\( \left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
2 & 1 & -3\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
  \)

Si sumas la columna del centro, multiplicada por -1, a las otras dos columnas

\( \left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0\\
1 & 1 & -4\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
  \)

y si ahora sumas la primera fila, multiplicada por -1, a la segunda fila

\( \left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & -4\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
  \)

ya está, el producto escalar de los dos sigue siendo cero y ahora se ve como antes.

Si quieres también (esto ya no tiene que ver) multiplicando la tercera por 4 y sumando ésta a la segunda

\( \left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
  \)

tienes los vectores da la base canónica.

El tercer vector no importa, lo he usado para “rellenar” el espacio.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Si claro, pero a la única respuesta que puedo llegar es porquue al multiplicar Ax nos da un producto escalar igualado a 0, y esto nos dice son perpendiculares entre si
Cuando lo hago con matrices se hacerlo, pero no explicarlo.

Después de las aclaraciones que te han hecho, no acabo de entender tu duda. De manera precisa si la matriz \( A \) es \( m\times n \) y denotamos sus elementos por \( a_{ij} \), dado un vector (matriz columna) de orden \( n \), \( x \) cuyos elementos los denotamos por \( x_j \) el producto \( b=Ax \) es un vector (matriz columna) de orden \( m \). En concreto por definición de producto de matrices:

\( b_i=\displaystyle\sum_{k=1}^n{}a_{ik}x_k=(a_{i1},a_{i2},\ldots,a_{in})\cdot (x_1,x_2,\ldots,x_n) \)

Es decir \( b_i \) es el producto escalar de la fila \( i \)-ésima de la matriz \( A \) por el vector \( x \). Por tanto si los \( b_i \) son nulos el producto escalar de las filas de \( A \) por \( x \) son cero, y esto, significa que unos y otros son perpendiculares entre si.

Saludos.