Hola. Gracias de antemano.
Quisiera preguntar sobre un ejercicio que me tiene atascado.
ENUNCIADO
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Justificar que la función \( f(x,y)=x^2+y^2-2y \) alcanza un valor máximo y un valor mínimo cuando \( x^2+2y^2=2 \) y calcularlos.
Creo que te está pidiendo demostrar que \( f \) alcanza un máximo y un mínimo en el conjunto de puntos definido por la ecuación \( x^2+2y^2=2 \). Igualmente la redacción no está muy clara, ya que no se sabe si se refiere a extremos dentro del dominio de la función de \( f \) o sólo a extremos en la curva definida por la anterior ecuación (que es una elipse).
Si fuese lo primero tendría que haber al menos dos puntos \( (x,y)\in\Bbb R^2 \) tales que \( \nabla f(x,y)=(2x,2y-2)=(0,0) \) y que además pertenezcan a la elipse, pero sólo hay un único punto que cumple la anterior ecuación, así que debe ser lo segundo.
Para lo segundo basta con darse cuenta que \( f \) es continua en la elipse, y la elipse es un conjunto compacto (se puede demostrar que es compacto usando una parametrización continua de la elipse), por tanto la imagen de \( f \) en la elipse es un conjunto compacto en la línea real, lo que implica que tiene un máximo y un mínimo, ya que un conjunto compacto en la línea real es cerrado y acotado por el teorema de Heine-Borel (
en el caso de que el intervalo fuese un punto, es decir, que \( f \) fuera constante en la elipse, entonces ambos extremos serían iguales).
Si quieres hallar los extremos de \( f \) en la elipse entonces debes plantear un problema de multiplicadores de Lagrange, es decir, hallar los puntos críticos de \( f-\lambda g \), donde \( g(x,y):=x^2+2y^2-2 \) y \( \lambda \) es el multiplicador de Lagrange.
CORRECCIÓN.
