Hola. Gracias de antemano.
Quisiera preguntar sobre el apartado 3 del siguiente ejercicio en que estoy atascado. Dejo el ejercicio por donde lo llevo.
ENUNCIADO
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Se considera la función \( z=\sqrt[ ]{1+y^2-x^2} \).
1) Representar gráficamente su dominio de definición y la curva de nivel que pasa por el punto \( P(1,0) \). Identificar la superficie.
2) Hallar la derivada de la función en el punto \( A(1,2) \) en la dirección \( \overrightarrow{AB} \), siendo \( B(1,5) \)
3) Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto \( P(1,2,2) \). ¿Hay algún punto en el que el plano sea horizontal?
Solución 1)
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Dominio de la función:
La función \( f \) está definida para todos los puntos \( (x,y) \) tales que \( 1+y^2-x^2\geq{0} \). Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los puntos de \( R^2 \) que están en el interior del hiperboloide de 2 hojas:
\( D={(x,y)\in{R^2 / 1+y^2-x^2\geq{0}}} \)
Curva de nivel
El nivel de la curva de nivel \( f(x,y)=k \) que pasa por \( P(1,0) \) es \( k=f(P)=f(1,0) \). Como \( P(1,0) \) está en la superficie \( z=f(x,y) \), se tiene \( f(1,0)=\sqrt[ ]{1+y^2-x^2}=0 \). Por lo tanto, la curva de nivel está dada por
\( L_f(0)=\left\{{(x,y):f(x,y)=0}\right\} \)
\( =\left\{{(x,y): \sqrt[ ]{1+y^2-x^2}=0}\right\} \Rightarrow{} \) una circunferencia de radio 0.
Obtener el conjunto de nivel:
\( \sqrt[ ]{1+y^2-x^2}=k \)
\( \sqrt[ ]{1+y^2-x^2}=0 \)
\( 1+y^2-x^2=0 \)
\( y^2=x^2-1 \)
\( y=\pm{}\sqrt[ ]{x^2-1} \) Hipérbola: ecuación de la superficie en función de y.
Comprobar si la hipérbola pasa por el punto \( P(1,0) \):
\( y=\pm{\sqrt[ ]{x^2-1}} \)
\( y=\pm{\sqrt[ ]{1^2-1}} \)
\( y=0 \)
Solución 2)
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Reescribir la función \( f:f(x,y)=(1+y^2-x^2)^(\displaystyle\frac{1}{2}) \)
Determinar las variables parciales:
\( f_x=\frac{{\partial f}}{{\partial x}}=\displaystyle\frac{1}{2}(1+y^2-x^2)^(-\displaystyle\frac{1}{2})(-2x) \) Regla de la cadena de potencias
\( =\displaystyle\frac{-2x}{2\sqrt[ ]{1+y^2-x^2}}=-\displaystyle\frac{x}{\sqrt[ ]{1+y^2-x^2}} \)
\( f_y=\frac{{\partial f}}{{\partial y}}=\displaystyle\frac{1}{2}(1+y^2-x^2)^(-\displaystyle\frac{1}{2})(2y) \) Regla de la cadena de potencias
\( =\displaystyle\frac{2y}{2\sqrt[ ]{1+y^2-x^2}}=\displaystyle\frac{y}{\sqrt[ ]{1+y^2-x^2}} \)
Evaluar las derivadas parciales \( f_x \) y \( f_y \), en el punto \( A(1,2) \):
\( f_x(A)=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1+(2)^2-(1)^2}}=-\displaystyle\frac{1}{2} \)
\( f_y(A)=-\displaystyle\frac{2}{\sqrt[ ]{1+(2)^2-(1)^2}}=1 \)
Crear el vector gradiente de \( f \) en el punto \( A(1,2) \):
grad \( f(A)=<f_x(A),f_y(A)> \)
\( < -\displaystyle\frac{1}{2}, 1> \)
Para calcular la derivada direccional de \( f \) en la dirección \( \overrightarrow{AB} \),
calcular sus coordenadas:
\( \overrightarrow{AB}=\vec{B}-\vec{A}=<0,3> \)
calcular su módulo:
\( \left\|{\vec{AB}}\right\|=\sqrt[ ]{0^2+3^2}=3 \)
Determinar el vector unitario \( \vec{U} \), en la dirección del vector \( \vec{AB} \)
\( \vec{U}=\displaystyle\frac{\vec{AB}}{\left\|{\vec{AB}}\right\|}=\displaystyle\frac{<0,3>}{3}=<\displaystyle\frac{0}{3},\displaystyle\frac{3}{3}>=<0,1> \)
Hallar ahora la derivada direccional de \( f \) en la dirección \( \vec{AB} \):
Tomar el vector gradiente de \( f \) en \( A \) (origendel vector \( \vec{AB} \) y hacer el producto escalar con el vector unitario:
\( D_uf= grad f(A)*\vec{U} \)
\( =<-\displaystyle\frac{1}{2}, 1>*<0,1> \)
\( =<-\displaystyle\frac{1}{2}>*0+1*1 \)
\( =0+1=1 \) Derivada direccional de \( f \) en \( A(1,2) \) en la dirección \( \vec{AB} \)
