[mgranadosgg]

Hola. Gracias de antemano.

Quisiera preguntar sobre un ejercicio en que estoy atascado.

ENUNCIADO
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Hallar la derivada de la función \( z=\sqrt[ ]{1+y^2-x^2} \) en el punto \( A(1,2) \) en la dirección \( \overrightarrow{AB} \), siendo \( B(1,5) \)

Solución
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Reescribir la función en forma exponencial:

 \( f_x=(1+y^2-x^2)^(\displaystyle\frac{1}{2}) \)

Determinar las variables parciales:

  \( f_x=\frac{{\partial f}}{{\partial x}}=\displaystyle\frac{1}{2}(1+y^2-x^2)^(-\displaystyle\frac{1}{2})*(-2x) \)       Aplicar la regla de la cadena de potencias

                \( =\displaystyle\frac{-2x}{2\sqrt[ ]{1+y^2-x^2}} \)

                \( =\displaystyle\frac{-x}{\sqrt[ ]{1-x^2}} \)                       y se comporta como una constante


  \( f_y=\frac{{\partial f}}{{\partial y}}=\displaystyle\frac{1}{2}(1+y^2-x^2)^(-\displaystyle\frac{1}{2})*(2y) \)       Aplicar la regla de la cadena de potencias

                \( =\displaystyle\frac{2y}{2\sqrt[ ]{1+y^2-x^2}} \)

                \( =\displaystyle\frac{y}{\sqrt[ ]{1+y^2}} \)                       x se comporta como una constante


Evaluar las derivadas parciales en el punto A(1,2):

  \( f_x(A)=\displaystyle\frac{-x}{\sqrt[ ]{1-x^2}} \)

           \( =-\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1-1^2}}=-\displaystyle\frac{1}{0} \)

Aquí, ya no sé cómo se debe continuar. Sí he comprobado que para   \( f_y(A)=\displaystyle\frac{y}{\sqrt[ ]{1+y^2}}=\displaystyle\frac{2}{\sqrt[ ]{5}} \)

[manooooh]

Hola

(...)
                \( =\displaystyle\frac{-2x}{2\sqrt[ ]{1+y^2-x^2}} \)

                \( =\displaystyle\frac{-x}{\sqrt[ ]{1-x^2}} \)                       y se comporta como una constante
(...)

(...)
                \( =\displaystyle\frac{2y}{2\sqrt[ ]{1+y^2-x^2}} \)

                \( =\displaystyle\frac{y}{\sqrt[ ]{1+y^2}} \)                       x se comporta como una constante
(...)

Ahí tenés el error conceptual de la derivada de una raíz:

\( \dfrac d{dx}\sqrt x=\dfrac1{2\sqrt x}x', \)

fijate que la \( x \) en el denominador se deja tal cual está.

Entonces las derivadas parciales son

\( \begin{cases}f_x(x,y)=-\dfrac{x}{\sqrt{1+y^2-x^2}}\\f_y(x,y)=\dfrac{y}{\sqrt{1+y^2-x^2}}\end{cases}\implies\begin{cases}f_x(A)=-\dfrac12\\f_y(A)=1,\end{cases} \)

pero acá no termina la cosa.

Si \( f\in\mathcal C^1(D) \) siendo \( D \) el dominio entonces la derivada direccional en el punto \( (x,y)=(x_0,y_0) \)
 en la dirección del vector \( \vec v\in\Bbb R^n \) es

\( f'((x_0,y_0);\vec v)=\vec v\cdot\vec\nabla f(x_0,y_0), \)

donde en nuestro caso \( (x_0,y_0)=(1,2) \),  \( \vec v=\vec{AB}=B-A=(0,3) \)  y  \( \vec\nabla f(1,2)=(f_x(1,2),f_y(1,2)) \). Por tanto

\( f'((1,2);(0,3))=(0,3)\cdot\left(-\dfrac12,1\right)=3. \)

Saludos

EDIT:

Mods

Título cambiado de "derivadas direccionales" a "Hallar derivada de \(\sqrt{1+y^2-x^2}\) en \(A(1,2)\) con \(AB\), \(B(1,5)\)".

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[delmar]

Hola

La parte básica de la resolución es correcta, se ha de hallar el gradiente : \( grad \ f=(f_x,f_y) \) has hallado correctamente ambas derivadas en consecuencia \( grad \ f=(\displaystyle\frac{-x}{\sqrt[ ]{1+y^2-x^2}} \ , \ \displaystyle\frac{y}{\sqrt[ ]{1+y^2-x^2}}) \)

El error esta en suprimir y en \( f_x \) y x en  \( f_y \), es verdad que son constantes; pero no por eso dejan de tener valor.

El vector \( \vec{AB}=\vec{B}-\vec{A}=(0,3) \)

Luego la derivada direccional respecto a \( \vec{AB} \) es \( D_{\vec{AB}}f=grad \ f_A  \cdot{\vec{AB}} \), es decir es el  producto interno entre el gradiente de f en A y el vector \( \vec{AB} \)


Saludos

Nota : manooooh se adelantó, esto es un complemento.

[manooooh]

De hecho, si no sabríamos que la función es diferenciable en el punto \( A \) deberíamos utilizar la definición genérica de la derivada:

\( \displaystyle f'((x,y);(a,b))=\lim_{h\to0}\frac{f((x,y)+h(a,b))-f(x,y)}h \).

Prueba:

\begin{align*}
\lim_{h\to0}\frac{f((x,y)+h(a,b))-f(x,y)}h&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+ah,y+bh)-f(x,y)}h\\
&=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{1+(y+bh)^2-(x+ah)^2}-\sqrt{1+y^2-x^2}}h\\
&=\left\{\frac00\right\}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{(1+(y+bh)^2-(x+ah)^2)-(1+y^2-x^2)}{h(\sqrt{1+(y+bh)^2-(x+ah)^2}+\sqrt{1+y^2-x^2})}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{\color{red}\cancel1\color{black}+\color{green}\cancel{y^2}\color{black}+2byh+b^2h^2\color{magenta}\cancel{-x^2}\color{black}-2axh-a^2h^2\color{red}\cancel{-1}\color{black}\color{green}\cancel{-y^2}\color{black}+\color{magenta}\cancel{x^2}}{h(\sqrt{1+(y+bh)^2-(x+ah)^2}+\sqrt{1+y^2-x^2})}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{\cancel h(2by+b^2h-2ax+a^2h)}{\cancel h(\sqrt{1+(y+bh)^2-(x+ah)^2}+\sqrt{1+y^2-x^2})}\\
&=\frac{2by-2ax}{\sqrt{1+y^2-x^2}+\sqrt{1+y^2-x^2}}\\
&=\frac{\cancel2(by-ax)}{\cancel2\sqrt{1+y^2-x^2}}\\
&=\frac{by-ax}{\sqrt{1+y^2-x^2}}\implies f'(\underbrace{(1,2)}_{(x,y)};\underbrace{(0,3)}_{(a,b)})=\frac{3\cdot 2-0\cdot1}{\sqrt{1+2^2-1^2}}=\frac62=3.
\end{align*}
Saludos

EDIT:

Mods

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[hméndez]

Hola, soy de la opinión que si se pide la derivada en la dirección del vector \( \vec{AB} \), este se debe normalizar, por lo que
la respuesta deberá ser 1 en vez de 3.

Saludos