Este ejercicio se resuelve facil sabiendo que si la aparición de un evento sigue la distribución de Poisson entonces el intervalo de tiempo entre apariciones de sucesos sigue la distribución exponencial de igual parámetro. Pero por si no te es conocido se puede razonar de manera sencilla.
La probablidad que en un minuto (que a partir de ahora tomamos como unidad de tiempo) la centralita reciba X llamadas es de:
\( P(X=x)=e^{-\mu}\displaystyle\frac{\mu^x}{x!} \)
Entonces, si denominamos T=tiempo que transcurre entre una llamada y la siguiente, si T=t, tenemos forzosamente que en los t-1 primeros minutos no se originó ninguna llamada y cuando se cumple el minuto t aparece justamente 1 llamada (recordemos que en los sucesos de Poisson la probabilidad de ocurrir un evento en el futuro no está condicionada por el número de eventos ocurridos en el pasado), recordando que la aparición de eventos es independiente unos de otros, tenemos:
\( P(T=t)=[\displaystyle\prod_{k=1}^{k=t-1}{P(X=0)}]\times{P(X=1)}=\mu\cdot{e^{-\mu\cdot{t}} \)
Que es precisamente una distribución exponencial con parametro \( \mu \). La esperanza y la varianza de una distribución exponencial son:
\( E[T]=\displaystyle\frac{1}{\mu} \)
\( Var[T]=\displaystyle\frac{1}{\mu^2} \)
El tiempo que hay que superar es:
\( t_c=E[T]+2\cdot{\sqrt[ ]{Var[T]}}=\displaystyle\frac{3}{\mu} \)
Y por tanto la probabilidad pedida es:
\( P(T>t_c)=\displaystyle\int_{t_c}^{+\infty}\mu\cdot{e^{-\mu\cdot{t}}dt=e^{-3}\approx{0,05} \)
La cota superior dada por la desigualdad de Chebyshev nos dice que la probabilidad debia ser \( \leq{\displaystyle\frac{1}{k^2}}=0,25 \). Que como vemos está muy alejada del valor real (error del 400%). ya que esta expresión nos proporciona una cota superior, al no hacer suposiciones sobre la forma de la distribución de la v.a.
Saludos.
