[Lavpimida]

Estoy perdido con el siguiente ejercicio de transformaciones lineales:

Sea \( f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) la transformación lineal cuya matriz en la base canónica es
\begin{bmatrix}{3}&{-1}&{1}\\{0}&{-5}&{0}\\{0}&{7}&{2}\end{bmatrix}
 Encontrar una base de \( \mathbb{R}^3 \) para la cual la matriz Mb(f) sea
\begin{bmatrix}{3}&{0}&{0}\\{0}&{-5}&{0}\\{0}&{0}&{2}\end{bmatrix}

Saludos.

[delmar]

Hola Lavpimida

Bienvenido al foro

Si denominanos \( U=(u_1,u_2,u_3) \) a la base incógnita, de tal manera que \( M_{UU}(f)=\begin{bmatrix}{3}&{0}&{0}\\{0}&{-5}&{0}\\{0}&{0}&{2}\end{bmatrix} \), por definición de matriz de una transformación respecto a una base, se tiene : \( f(u_1)=3u_1, \ \ f(u_2)=-5u_2, \ f(u_3)=2u_3 \) en consecuencia \( u_1,u_2,u_3 \) son autovectores de la transformación lineal f y 3,-5,2 son los autovalores correspondientes.Responder al problema equivale a hallar los autovectores de f, conociendo los autovalores respectivos. En consecuencia si  \( [u_1]_E=\left[\begin{array}{ccc}{a_1}\\{b_1}\\{c_1}\end{array}\right] \). es decir si las componentes de \( u_1 \) en la base canónica E son \( a_1,b_1,c_1 \) se tiene la siguiente  ecuación :

\( \begin{bmatrix}{3}&{-1}&{1}\\{0}&{-5}&{0}\\{0}&{7}&{2}\end{bmatrix} \ \left[\begin{array}{ccc}{a_1}\\{b_1}\\{c_1}\end{array}\right]=3 \ \left[\begin{array}{ccc}{a_1}\\{b_1}\\{c_1}\end{array}\right] \)

Se resuelve y se puede hallar un autovector correspondiente al autovalor 3, de la misma forma se hallan los autovectores correspondientes a los autovalores -5 y 2. Ese conjunto ordenado de los tres autovectores es U.


Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Si denominanos \( U=(u_1,u_2,u_3) \) a la base incógnita, de tal manera que \( M_{UU}(f)=\begin{bmatrix}{3}&{0}&{0}\\{0}&{-5}&{0}\\{0}&{0}&{2}\end{bmatrix} \), por definición de matriz de una transformación respecto a una base, se tiene : \( f(u_1)=3u_1, \ \ f(u_2)=-5u_2, \ f(u_3)=2u_3 \) en consecuencia \( u_1,u_2,u_3 \) son autovectores de la transformación lineal f y 3,-5,2 son los autovalores correspondientes.Responder al problema equivale a hallar los autovectores de f, conociendo los autovalores respectivos. En consecuencia si  \( [u_1]_E=\left[\begin{array}{ccc}{a_1}\\{b_1}\\{c_1}\end{array}\right] \). es decir si las componentes de \( u_1 \) en la base canónica E son \( a_1,b_1,c_1 \) se tiene la siguiente  ecuación :

\( \begin{bmatrix}{3}&{-1}&{1}\\{0}&{-5}&{0}\\{0}&{7}&{2}\end{bmatrix} \ \left[\begin{array}{ccc}{a_1}\\{b_1}\\{c_1}\end{array}\right]=3 \ \left[\begin{array}{ccc}{a_1}\\{b_1}\\{c_1}\end{array}\right] \)

Se resuelve y se puede hallar un autovector correspondiente al autovalor 3, de la misma forma se hallan los autovectores correspondientes a los autovalores -5 y 2. Ese conjunto ordenado de los tres autovectores es U.

De acuerdo con todo lo indicado. Ahora bien la forma usual de calcular autovalores y autovectores es: primero hallar el polinomio característico:

\( p(\lambda)=det(M_{UU}(f)-\lambda\cdot Id) \)

Sus raíces \( \lambda_i \) son los autovalores. Para cada uno de ellos se calculan los autovectores resolviendo el sistema:

\( (M_{UU}(f)-\lambda_i Id)\vec x=\vec 0 \)

Saludos.